探索实验 5 插值法一、 实验目的了解插值问题及其适用的场合，理解并掌握常用的插值算法的构造和计算，了解差商概念、 Runge 现象及样条插值方法，学习用计算机求近似函数的一些科学计算方法和简单的编程技术。二、概念与结论1. 插值问题与插值函数：由实验或测量的方法得到所求函数y=f(x) 在互异点x 0 , x 1, ... , xn 处的值y0 , y1 , ⋯ , yn ,构造一个简单函数(x) 作为函数y=f(x) 的近似表达式y= f(x) (x) 使(x 0)=y 0 , (x 1)=y 1 , , (x n)=y n, (1) 这类问题称为插值问题。f(x) 称为被插值函数，(x) 称为插值函数，x 0 , x 1, ... , x n 称为插值节点。 (1)式称为插值条件。常用的插值函数是多项式函数。且当n=1 时是称为线性插值，n=2 时称为 Simpson 插值或抛物线插值。2．插值定理：假设 x 0 ,x 1, ⋯ ,xn 是n+1个互异节点 ,函数 f(x) 在这组节点的值f(x k)(k=0,1,⋯,n)是给定的，那么存在唯一的 n 次次多项式 pn (x) 满足pn (xk)=f(x k), k=0,1,⋯ ,n3.插值的截断误差设n(x) 是过点 x0 ，x1 ，x2 ，⋯xn的 n 次插值多项式，f(n+1)(x)在（ a，b）上存在，其中[a，b] 是包含点 x 0 ，x1 ，x 2 ，⋯ ,xn的任一区间，则对任意给定的x[a，b]，总存在一点（a，b）（依赖于 x）使其中n+1 (x)=(x –x0) (x - x 1) ⋯ (x-x n ) ，f(n+1)( ) 是 f(x) 的n+1阶微商在的值。4. 差商：给定一个函数表x | x0x1 ⋯ .... xn -------- ---------------------------------------------------------y | y0 ,y1⋯⋯ . yn 其中当 i j时 ,xi xj 记 f[x i]=f(x i) ,定义 f(x) 关于 x i,xj的一 阶差商一般的 , f(x) 关于 x i,xi+1,⋯ ,xi+k的k 阶差商定义为 : )()!1()()()()(1)1(xnxxfxRnnnnfjijijixxxfxfxxf][][],[5. 分段线性插值：在区间 [a,b] 上给定一组节点: a=x0
