第1 1 讲 导 数 与 函 数 的 单 调 性 ◆高考导航·顺风启程◆ 最新考纲 常见题型 1.了解函数的单调性与导数的关系. 2.会利用导数研究函数的单调性. 3.会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次). 在高考中占有重要地位,常见于解答题或一部分,占5~12 分. [知识梳理] 函数的单调性 如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f′(x) > 0,则在这个区间上,函数y=f(x)是增加的;如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f′(x) < 0,则在这个区间上,函数y=f(x)是减少的. [知识感悟] 导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是 f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件; (2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是 f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)=0不恒成立). [知识自测] 1.f(x)=x3-6x2 的单调递减区间为( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(4,+∞) D.(-∞,0) [解析] f′(x)=3x2-12x=3x(x-4), 由f′(x)<0,得0<x<4,∴单调递减区间为(0,4). [答案] A 2.函数f(x)=cos x-x 在(0,π )上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.增函数 D.减函数 [解析] f′(x)=-sin x-1<0. ∴f(x)在(0,π )上是减函数,故选 D. [答案] D 3.已知f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是增函数,则 a 的最大值是 ________ . [解析] f′(x)=3x2-a≥0,即a≤3x2, 又 x∈[1,+∞),∴a≤3,即a 的最大值是 3. [答案] 3 题 型 一 判 断 或 证 明 函 数 的 单 调 性 (基 础 拿 分 题 , 自 主 练 透 ) (高考重庆卷)已知函数 f(x)=ax3+x2(a∈R)在 x=-43处取得极值. (1)确定 a 的值; (2)若 g(x)=f(x)ex,讨论 g(x)的单调性. [解] (1)对 f(x)求导得 f′(x)=3ax2+2x, 因为 f(x)在 x=-43处取得极值,所以 f′-43 =0, 即3a·169 +2·-43 =16a3 -83=0,解得 a=12. (2)由(1)得 g(x)=12x3+x2 ex, 故 g′(x)=32x2+2x ex+12x3+x2 ex =12x3+52x2+2x ex=12x(x+1)(x+4)ex. 令 g′(x)=0,解得 x=0 或 x=-1 或 x=-4. 当 x<-4 时,g′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当-40,故 g(x)为增函数; 当-10 时,g′(x)>0,故...