最经典总结导数与函数的单调性

第1 1 讲 导 数 与 函 数 的 单 调 性 ◆高考导航·顺风启程◆ 最新考纲 常见题型 1.了解函数的单调性与导数的关系． 2.会利用导数研究函数的单调性． 3.会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次). 在高考中占有重要地位，常见于解答题或一部分，占5～12 分. [知识梳理] 函数的单调性 如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x) ＞ 0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x) ＜ 0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的． [知识感悟] 导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是 f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件； (2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是 f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)＝0不恒成立)． [知识自测] 1．f(x)＝x3－6x2 的单调递减区间为( ) A．(0,4) B．(0,2) C．(4，＋∞) D．(－∞，0) [解析] f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)， 由f′(x)＜0，得0＜x＜4，∴单调递减区间为(0,4)． [答案] A 2．函数f(x)＝cos x－x 在(0，π )上的单调性是( ) A．先增后减 B．先减后增 C．增函数 D．减函数 [解析] f′(x)＝－sin x－1＜0. ∴f(x)在(0，π )上是减函数，故选 D. [答案] D 3．已知f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则 a 的最大值是 ________ . [解析] f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2， 又 x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即a 的最大值是 3. [答案] 3 题 型 一 判 断 或 证 明 函 数 的 单 调 性 (基 础 拿 分 题 ， 自 主 练 透 ) (高考重庆卷)已知函数 f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在 x＝－43处取得极值． (1)确定 a 的值； (2)若 g(x)＝f(x)ex，讨论 g(x)的单调性． [解] (1)对 f(x)求导得 f′(x)＝3ax2＋2x， 因为 f(x)在 x＝－43处取得极值，所以 f′－43 ＝0， 即3a·169 ＋2·－43 ＝16a3 －83＝0，解得 a＝12. (2)由(1)得 g(x)＝12x3＋x2 ex， 故 g′(x)＝32x2＋2x ex＋12x3＋x2 ex ＝12x3＋52x2＋2x ex＝12x(x＋1)(x＋4)ex. 令 g′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝－1 或 x＝－4. 当 x<－4 时，g′(x)<0，故 g(x)为减函数； 当－40，故 g(x)为增函数； 当－10 时，g′(x)>0，故...