1 第七章 材料非线性问题的有限元法 7.1 引 言 前面各章所讲述的问题，都属于线性变形体系。所谓线性变形体系是指位移与载荷呈线性关系的体系，而且当载荷全部撤除后，体系将完全恢复原始状态。这种体系也称为线性弹性体系，它需满足下列条件： （1）材料的应力与应变关系满足虎克定律： （2）位移是微小的； （3）所有约束均为理想约束。 在分析线性弹性体系时，可以按照体系变形前的几何位置和形状建立平衡方程，并且可以应用叠加原理。根据这种理论建立起来的方程是线性的，对于小应变和小位移的情形这种分析是适用的。 实际结构的位移与载荷可以不呈线性关系，这样的体系称为非线性变形体系。如果体系的非线性是由于材料应力与应变关系的非线性引起的，则称为材料非线性，如材料的弹塑性性质、松驰、徐变等。如果结构的变位使体系的受力发生了显著的变化，以至不能采用线性体系的分析方法时就称为几何非线性，如结构的大变形、大挠度的问题等。还有一类非线性问题是边界条件非线性，或状态非线性，如各种接触问题等。但本书只讨论前两类非线性问题的有限元解法，即材料非线性和几何非线性问题的有限元解法，对接触问题的有限元解法，读者可参考其它书籍。 材料非线性问题的处理相对比较简单，通常不必修改整个问题的表达式，而只需将应力—应变关系线性化，求解一系列的线性问题，并通过某种校正方法，最终将材料特性调整到满足给定的木构关系，从而获得了问题的解。 对于几何非线性问题，那就需要对公式进行根本的修改，这个问题将在后面详细讨论，不过应该指出，用于求解材料非线性问题的基本迭代方法也同样适用于几何非线性问题的求解。事实上，有些工程结构问题同时具有这两类非线性性质，它们可以统一地加以处理。 本章将首先介绍用有限元方法处理非线问题的一般方法，然后讨论这些方法在非线性弹性、弹塑性和蠕变问题中的应用。在介绍弹塑性问题的处理方法前，为便于讨论，需扼要叙述一下 Mises 屈服准则和 Prandtl-Reuss 塑性流动理论，并据此写出弹塑性矩阵表达式。最后对平面刚架的极限分析做了简要介绍。 7.2 非线性问题的一般处理方法 非线性问题用有限元法离散化应得到如下形式的一组代数方法： FKfP}{ 或写成 0 fK （7.1） 其中 Ff。虽然线性方程组 ...
