有限元第五章杆系结构的有限元法

1 第五章 杆系结构的有限元法 5.1 引言 杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。 杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。因此，本章将采用这种方法进行单元分析。至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。 5.2 平面桁架的有限元分析 平面桁架在计算上有以下几个特点： 1． 杆件的每个节点仅有两个线位移； 2． 杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。 3． 外载荷均为作用于节点的集中力。 由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。 5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵 从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L，横截面面积为A，图 5.1。两端节点分别用i和 j表示，规定从 i到 j的连线方向为局部坐标 x 轴，垂直于 x 的方向为y 轴。 图 5.1 由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点 i和 j只发生沿 x 方向的位移，用iu 和ju 表示，相应的杆端轴力分别用xiF 和xjF 表示。由虎克定律可推得 )()()(jiijxjjixiuuLEAuuLEAFuuLEAF 将这两个式子写成矩阵形式，就是 ejiexjxiuuLEALEALEALEAFF (5.1) 显然，在局部坐标系下，i、j 两节点沿 y 轴方向的位移0jivv，在 y 轴方向的节点力 2 0yjyiFF。因此，可以把（5.1）扩大为下面的四阶的形式 ejjiieyjxjyixivuvuLEALEALEALEAFFFF000000000000 (5.2) 可以简写为 eeekF}{][ (5.3) 其中  TyjxjyixieFFFFF (5.4) 称作桁架单元的单元杆端力向量。  Tjjiievuvu...