有限元第六章动力问题的有限元法

1 第六章 动力问题的有限元法 6.1 概述 前面几章所研究的问题都属于静力问题，其特点是施加到结构上的外载荷不会使结构产生加速度，且外载荷的大小和方向不随时间变化，因而结构所产生的位移和应力也不随时间变化。本章将要研究结构分析中另一类重要问题的有限元解法，即动力问题的有限元解法。动力学问题的特点是，载荷是随时间变化的，因而结构所产生的位移和应力是时间的函数，结构会产生速度和加速度。 由于结构本身的弹性和惯性，结构在动力载荷的作用下，往往呈现出振动的运动形态。结构振动是工程中一个很普遍很重要的问题。有些振动对我们有利，例如，振动打桩，振动选料，有些振动对我们有害，例如，机床的振动，仪器与仪表的振动，桥梁、水坝及高层建筑在地震作用下的振动等。因此，我们必须对振动体本身的振动特性以及它对外部激振力的响应有一个明确的认识，才能更好地利用它有利的一面，而避免它有害的一面，设计出更好的机械和结构。 振动问题主要解决两方面的问题。 1. 寻求结构的固有频率和主振型，从而了解结构的固有振动特性，以便更好地利用或减少振动。 2. 分析结构的动力响应特性，以计算结构振动时动应力和动位移的大小及其变化规律。 6.2 结构的振动方程 结构的振动方程可用多种方法建立，这里我们使用达朗伯原理（动静法），仿照前几章建立静力有限元方程的方法，来建立动力问题的有限元方程。 在静力问题中用有限元法建立的平衡方程是 }{}]{[FK 在振动问题中，对结构的各节点应用达郎伯原理所建立的振动方程仍然具有与上式相同的形式，只不过节点位移是动位移，节点载荷是动载荷，它们都是时间的函数。上面的方程成为 )}({)}(]{[tQtK (6.1) 上式中)(t为节点的动位移，它是时间的函数，)}(]{[tK是t时刻的节点位移产生的弹性恢复力，它与该时刻的节点外力)(tQ构成动态平衡。 在动态情况下，结构承受的载荷（集中载荷 ，分布载荷 ）可随时间而变化，是时间的函数。按有限元方法将此种载荷移置到节点上，得到的节点载荷向量)}({tF也是时间的函数。 此外，结构在运动中，各点除位移 f 以外，还有速度 .f及加速度 ..f。按照达郎佰原理，有加速度的质量应附加有惯性力载荷。如材料的密度为  ，则结构单位体积的惯性力为}{..f。这对结构来说，相当于又受有另一种体积力，大小与点的加速度成比例，而方向与加速度方向相反。另外...