波动率于garch模型

1.1.波动率 波动率是用来描述证券价格、市场指数、利率等在它们均值附近上下波动幅度的术语，是标的资产投资回报率的变化程度的度量。股票的波动率σ是用于度量股票所提供收益的不确定性。股票通常具有15%-50%之间的波动率。股票价格的波动率可以被定义为按连续复利时股票在1 年内所提供收益率的标准差。当∆t很小时，2 t  近似的等于在∆t时间内股票价格变化百分比的方差。这说明σ√∆t近似的等于在∆t时间内股票价格变化百分比的标准差。由标准差来表述股票价格变化不定性的增长速度大约为时间展望期长度的平方根（至少在近似意义下）。 1.2.由历史数据来估计波动率 为了以实证的方式估计价格的波动率，对股票价格的观察通常是在固定的时间区间内（如每天、每星期或每个月）。 定义 n+1——观测次数； ᵄᵅ ——第ᵅ个时间区间结束时变量的价格，ᵅ=0，1，…n； τ——时间区间的长度，以年为单位。 令 1ln,0,1,, ;iiiSuinS 1.2.1 ui的标准差s通常估计为 2111niisuun  1.2.2 或 221111()11nniiiisuunn n 1.2.3 其中u̅为iu 的均值。 由于iu 的标准差为σ  。因此，变量s 是σ  的估计值。所以σ 本身可以被估计 ，其中 s  可以证明以上估计式的标准差大约为/2n。 在计算中选择一个合适的n 值并不很容易。一般来讲，数据越多，估计的精确度也会越高，但σ 确实随 时间变化，因此过 老 的历史数据对于预 测将 来波动率可能 不太 相 干 。一个折中的方法 是采 用最 近90～ 180 天内每天的收盘 价数据。另 外 一种 约定俗 成 成 俗 的方法 是将 n设 定为波动率所用于的天数。因此，如果 波动率是用于计算量年期的期权 ，在计算中我 们可以采 用最 近两 年的日 收益数据。关 于估计波动率表较 复杂 的方法 涉 及 GARCH 模 型 与 EWMA模 型 ，在下文 中将 进 行 详 细 介 绍 。 1.3.隐 含 波动率 首 先 对于一个无 股息 股票上看 涨 期权 与 看 跌 期权 ，它们在时间0 时价格的布 莱 克 -斯 科尔 斯 公 式为 012()()rTcS N dKeN d 1.3.1 201()()rTpKeNdS Nd 1.3.2 式中 201ln (S /)(/ 2)KrTdT 2021ln (/)(/ 2)SKrTddTT 函 数 N(x)为 标 准 正 态 分 布 变 量 的 累 积...