过圆锥母线的截面三角形面积的最大值

1 过圆锥母线的截面三角形面积的最大值【问题】如图所示，圆锥AC 底面直径'BB ， 过圆锥 AC 任意两条母线的截面ABD ，如何求ABD 面积的最大值？作 BD 边上的高 AE ，设xBD，建立数学模型222)(2xABxS，利用其单调性来求解。具体可见例1、例 2. 例 1、在直角三角形ABC 中，已知 AC=2 ，BC=32，90C，以直线 AC 为轴将△ ABC 旋转一周得到一个圆锥，求经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值 . 解 ： 作 任 意 母 线 AD ， 并 连 接 BD ， 得ABD ， 作BDAE于 E 。 设)340(xxBD，在ABCRt中，4)32(222AB，在ABERt中，222)(4xAE，则222)(4221xABDxAEBDS222414216)32(164xxx当322x，即24x时，81621)(2maxABDS。经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为8.思考：该圆锥中，若'BB 为直径，'BAB（ 120 ）例 2、在直角三角形ABC 中，已知 BC=2 ，AC=32，90C，以直线AC 为轴将△ ABC 旋转一周得到一个圆锥，求经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值. 解：作任意母线AD ，并连接BD ，得ABD ，作BDAE于 E 。设)40(xxBD，在ABCRt中，4)32(222AB，在ABERt中，222)(4xAE，则222)(4221xABDxAEBDS222414216)32(2116214xxx当]4,0(x时，随着 x 的增大，2x 增大，322x增大22)32(x，22)32(41 x增大，22216)32(41 x增大，22216)32(41 x增大，即ABDS增大，ABDS=22216)32(41 x在]4,0(上是增函数。当162x，即4x时，3432421)('maxABBABDSS。经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为34.思考：该圆锥中，'BAB（ 60 ）比较例 1、例 2，注意：例 1 中不是 x 取边界值34时取得最大值， 而是24x时取值最大值， 因为函数在]24,0(上递增，在]34,24[上递减；例2 中当 x 取边界值 4 时取得最大值，函数在区间]4,0(是单调递增。推广：圆锥中，当'BAB 为锐角或直角时，经过顶点的面积最大的截面三角形是'BAB ，当'BAB 为钝角时，经过顶点的面积最大的截面三角形不是'BAB ，而在其它位置上，此时必须建立函数模型来求解。EB'CBAD2