连续与一致连续典型例题VIP专享

学习必备欢迎下载第三讲连续与一致连续一内容提要1. 函数在一点的连续性若函数)(xf在0x处的邻域内有定义，)(xf在点0x连续0lim0yx)()(lim00xfxfxx)lim()(lim00xfxfxxxx,0,0使得00:xxx，有)()(0xfxf．注 1 若)()(lim00xfxfxx，则称函数)(xf在0x 右连续；若)()(lim00xfxfxx，则称函数)(xf在0x 左连续．)(xf在点0x 连续)(lim0xfxx)()(lim00xfxfxx．注 2 设)(xf定义于区间 I ，Ix0，则)(xf在0x 连续的充要条件是Ixxxxxnnnnn,|}{}{0，有)()(lim0xfxfnn称之为连续的海涅归结原则．注 3 初等函数在有定义的地方处处连续．2．间断点的分类若函数)(xf在0x 处的某个空心邻域内有定义，)(xf在点0x 处无定义，或)(xf在点0x 有定义而不连续，则称点0x 为函数)(xf的间断点．第一类间断点（ 1）可去间断点：)0(0xfAxf)0(0，)(xf在点0x 处无定义，或有定义但Axf)(0．（2）跳跃间断点：)0(0xf)0(0xf．第二类间断点)0(0xf，)0(0xf中至少有一个不存在．3．连续函数的局部性质（1）若函数)(xf在点0x 连续， 则0, M，使得00:xxx，有Mxf)(．（2）若函数)(xf在点0x 连续，且)(0xf，则0 ，使得00:xxx，有)(xf．学习必备欢迎下载（3）四则运算：若函数)(xf，)(xg均在点0x 连续，则)(xf)(xg，)(xf)(xg，)()(xgxf（0)(xg）在点0x 连续．（4）若函数)(xf在点0x 连续，)(xg在点0u 连续，且)(00xfu，则)(lim0xfgxx)(lim0xfgxx)(0xfg即函数)(xfg在点0x 连续．（会证明）4 闭区间上连续函数的整体性质（1）有界性定理：若)(xf在],[ba上连续，则)(xf在],[ba上有界．（2）最值定理： 若)(xf在],[ba上连续， 则)(xf在],[ba上能取得最大值M 和最小值 m ．（3）介值定理：若)(xf在],[ba上连续，则],[),(ba，)(xf可取介于)(f与)(f之间的一切值．（4）零点定理：若)(xf在],[ba上连续，且0)()(bfaf，则在区间),(ba内至少存在一点，使得0)(f．注 1 闭区间上连续函数的整体性质在整个分析理论中具有重要性．注 2 介值定理和零点定理是讨论方程0)(xf的根的重要工具．5 一致连续性设函数)( xf在区间 I 上有定义，若对,0)(,0使得Ixx21,，只要21xx，就有)()(21xfxf，则称)(xf在 I 上一致连续．注1 )(xf在 区 间 I 上 一 致 连 续,0)(,0使 得Ix0， 只 要0xx，就有)()(0xfxf．注 2 一致连续定义中的是对整个区间 I 适用的，即只信赖于，而于21, xx的位置无关，不论21, xx在 I 的什么位置， 只要1x 与2x 接近到同一程度， 其函...