08 金属的结构和性质【8.1】半径为 R的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。解： 4 个等径圆球作紧密堆积的情形示于图9.1（a）和 (b)，图 9.1(c)示出堆积所形成的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2 倍。图 9.1 由图和正四面体的立体几何知识可知：边长 AB=2R 高12122222213AMAEEMABBEDE11222222221132233ABABAERRR261.6333RR中心到顶点的距离：361.22542OAAMRR中心到底边的高度：160.40846OMAMRR中心到两顶点连线的夹角为：AOB2222211226/ 22coscos226/ 2RROAOBABOAOBR1cos1/3109.47中心到球面的最短距离0.225OARR本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空隙所能容纳的小球的最大半径为0.225R。而 0.225 正是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。此题的结果也是了解hcp 结构中晶胞参数的基础 (见习题 9.04)。【8.2】半径为 R 的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。解：正八面体空隙由6 个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的直径。空隙的实际体积小于八面体体积。图9.2 中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。图 9.2 由图（ c）知，八面体空隙中心到顶点的距离为：1112222222OCACABRR而八面体空隙中心到球面的最短距离为：20.414OCRRRR此即半径为R 的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。0.414 是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时/rr 的下限值。【8.3】半径为 R 的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。解：由图 9.3 可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为：2231.15533OAADRR图 9.3 三角形空隙中心到球面的距离为：1.1550.155OARRRR此即半径为R 的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径，0.155 是“三角形离子配位多面体”中/rr 的下限值。【8.4】半径为 R 的圆球堆积成3A 结构，计算简单立方晶胞参数a 和 c 的数值。解：图 9.4 示出 A3 型结构的—个简单六方晶胞。该晶胞中有两个圆球、4 个正四面体空隙和两个正八面体空隙。由图可见， 两个正四面体空隙共用一个顶点，正四面体高的两倍即晶胞参数c，而正四面体的棱长即为晶胞参数a 或 b ...
