同济大学(高等数学)-第八章-向量代数与解析几何VIP免费

第五篇向量代数与空间解析几何第八章向量代数与空间解析几何解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化.平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第1节空间直角坐标系1.1空间直角坐标系用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.1.1.1空间直角坐标系过定点，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x轴(横轴）、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，它们都以为原点且具有相同的长度单位.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住轴，当右手的四指从x轴的正向转过角度指向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为直角坐标系，点叫做坐标原点.图8-1在直角坐标系下，数轴Ox,,Oz统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为，，，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.yxzO1图8-21.1.2空间点的直角坐标设为空间中的任一点，过点分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与轴、轴和轴依次交于、、三点，若这三点在轴、轴、轴上的坐标分别为，，，于是点就唯一确定了一个有序数组，则称该数组为点在空间直角坐标系中的坐标，如图8-3．，，分别称为点的横坐标、纵坐标和竖坐标．图8-3反之，若任意给定一个有序数组，在轴、轴、轴上分别取坐标为，，的三个点、、，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一个交点，该点就是以有序数组为坐标的点，因此空间中的点就与有序数组之间建立了一一对应的关系．注：、、这三点正好是过点作三个坐标轴的垂线的垂足．1.2空间中两点之间的距离yxzOyxzABC(,,)Mxyz2设两点，，则与之间的距离为（8-1-1）事实上，过点和作垂直于平面的直线，分别交平面于点和，则∥，显然，点的坐标为，点的坐标为（如图8-4）．图8-4由平面解析几何的两点间距离公式知，和的距离为：．过点作平行于平面的平面，交直线于，则∥，因此的坐标为，且，在直角三角形中，，所以点与间的距离为．例1设与为空间两点，求与两点间的距离．解由公式（8-1-1）可得，与两点间的距离为．例2在轴上求与点和等距的点．yOMxN1M1N2N1P2P1Q2Q1R2R3解由于所求的点在轴上，因而点的坐标可设为，又由于，由公式（8-1-1），得．从而解得，即所求的点为．习题8-11．讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号．2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点？3．在空间直角坐标系中，画出下列各点：；；；．4．求点关于各坐标平面对称的点的坐标．5．求点关于各坐标轴对称的点的坐标．6．求下列各对点间的距离：(1)与；(2)与．7．在坐标平面上求与三点、和等距的点．8．求点与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离．9.证明以为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形.4第2节空间向量的代数运算2.1空间向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示．这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）．但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．在数学上，我们用有向线段来表示向量，称为向量的起点，称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向．通常在印刷时用黑体小写字母，，，…来表示向量，手写时用带箭头的小写字母来记向量.向量的长度称为向量的模，记作或，模为的向量叫做单位向量，模为的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向...