马克思扩大再生产理论的数学解释刘坤（浙江师范大学工商管理学院，浙江金华321004）[ 摘要 ] 本文综合马克思的再生产理论，得出预付资本增长的规律。通过解方程，得出在静态条件下预付资本的增长函数，分析了两大部类在扩大再生产过程中所应满足的比例关系；在动态条件下（假设利润率随资本增长而减少），得到资本增长存在着某个上限的logistic模型；最后，证明了资本周转与利润率的关系。[ 关键词 ] 扩大再生产数学解释增长率[ 作者简介 ] 刘坤（1977－），男，江西鹰潭人，浙江师范大学工商管理学院助教，研究方向：政治经济学，国际经济马克思在《资本论》第一卷第七篇“资本的积累过程” 以及第二卷第三篇 “社会总资本的再生产和流通” 等篇章中对剩余价值转化为资本进行扩大规模再生产进行了分析， 在第三卷中对利润率趋于下降的规律作出了分析，本文试图建立一个分析预付资本的增长方式的数学模型。一、数学表述马克思在《资本论》中谈到： “要积累，就必须要有一部分剩余产品转化为资本。”假设初始的情况是资本家先投入预付资本K，转化为不变资本C 和可变资本 V，并得到剩余价值M。设θ 为资本家将一部分剩余价值M转化为追加预付资本 Δ K 的积累率 ( 剩余价值分为资本和收入的比例) ，即MK (1) 又设资本价值构成为 λ =C/V，剩余价值率为 m’，则)V)(1VCK (2) Km1'V'mM (3) 由(1) 式和 (3) 式得到预期资本 K 的增长率1'mKK (4) 该方程表明预付资本的增长率与积累率θ 和剩余价值率 m’成正向关系， 与资本构成比率 λ 成反向关系。设资本的利润率为r ，则有1'mVCmr (5) 因此，方程 (4) 也可以表示为rKK (6) 二、静态分析假设积累率 θ 、资本构成比率 λ 和剩余价值率 m’( 因而利润率 r) 是不变的，则由方程 (6) ，预付资本的增长率是不变的。在离散变量的情况下，上述差分方程可以写成1)1(nnKrK它是一个等比数列，从而nnrKK)1(0(7) 此处， n＝1，2，3，⋯，表示年份。如果是连续变量的情况下，方程为rKdtdK则预付资本将以自然指数函数的形式增长：r teKtK0)(（8）由以上公式，可以得到可变资本V，不变资本 C及商品价值 W有或者因此，预付资本 K、可变资本 V、不变资本 C 和产出 W的增长率都等于 θ r 。举例：《资本论》关于扩大再生产分析给出了一个例子，其中第一部类有Ⅰ4000C + 1000V + 1000M = 6000 有机构成 λ1=4，m’=100%，θ1=50%，可...
