电脑桌面
添加小米粒文库到电脑桌面
安装后可以在桌面快捷访问

第二章分离变量法VIP免费

第二章分离变量法_第1页
1/41
第二章分离变量法_第2页
2/41
第二章分离变量法_第3页
3/41
2222(,)uxtaut22,,,uaufxyztt),,()(zyxfu一、典型数理方程1、弦振动方程2、热传方程3、Laplace方程许多物理力学问题都可以归结为偏微分方程的定解问题。怎么求解?建立方程及相应的定解条件,利用几种基本的方法。偏微分方程常微分方程转化第二章分离变量法02xxttuau边界条件:)(0xut).(0xutt0),(0xtxu0),(lxtxu初始条件:(泛定方程)波动方程:A2.1有界弦的自由振动定解问题的特点:偏微分方程是线性齐次的,边界条件也是齐次的,求解此类问题可以采用叠加原理。定解问题的方法:找出偏微分方程满足边界条件的多个特解,再利用它们的线性组合,使满足初始条件。2468-1-0.50.510x固定lx自由345678-1-0.50.510x自由lx自由468-1-0.50.510x自由lx固定2.557.51012.515-1-0.50.510x固定lx固定对于确定的频率,振动过程中有不动的节点,这类振动波为驻波:振动过程中不动的点称为节点。振动过程中驻波的振幅达到最大值,称为腹点。为求定解问题,选择物理模型:乐器发出的声音可以分解为不同频率的单音,每种单音振动时为正弦曲线,其振幅不依赖时间(,)()sinuxtctx注:u(x,t)中含变量x的函数与含t的函数的乘积,有变量分离的形式波腹波节2.557.51012.515-1-0.50.51每一点绕平衡位置振动)(tT振幅随位置变化)(xX驻波解:)()(),(tTxXtxu将U=X(x)T(t)代入波动方程:0''''2TXaXT这是解的分离变量0)()0(tTX0)()(tTlX0)0(X和0)(lX2''''TXaTX0''''2TXaXT将U=X(x)T(t)代入边界条件:和T(t)为任意值,要使上式成立,则:)()('')()(''2xXxXtTatTClearlyx,t是相互独立的变量,这个方程的两边互不统属,而各自独立变化。故比值只能为一常数!)()('')()(''2xXxXtTatT由分离变量,波动方程(偏微分方程)变为常微分方程组:;0''2TaT;0''XX0)0(X和.0)(lX(1)00''XXxxeCeCxX21)(0)0(X021CC(A).;0''XX的解:;0''XX0)0(X和.0)(lX对于某些值,方程的解存在,则称的值为固有值。相应的X(x)的解为固有函数。对于分三种情况加以讨论:()0Xl021lleCeC021CC0Xx(2)021)(CxCxX02C021CC0)0(X()0Xl0Xx(3)0xCxCxXsincos)(210)0(X01C.0)(lX0sin2lC2()sinnnxXxCl222ln:固有值lxnCxXsin)(2:特征函数(固有函数);0''XX本征值方程C2是积分常数222ln3,2,1n0sin2lC对于方程,因为X(x)不恒等于零。0sinl02C只有超越方程B.;0''2222TlanT()cossin,nnatnatTtABllA、B是积分常数。(,)(cossin)sinnnnnatnatnxuxtABlll3,2,1n222ln:固有值代入T的方程;0''2TaT;0''XX0)0(X和.0)(lXAn=A*C2是积分常数合并,线性齐次,可采用叠加原理1(,)(cossin)sin.nnnnatnatnxuxtABlllC.)(0xut由初始条件:),(sin1xlxnAnn;sin)(20dlnlAln0()ttux).(sin1xlxnBlannn.sin)(20dlnanBlnFourier展开式的系数:Fourier展开式的系数:小结分离变量:)()(),(tTxXtxu0''''2TXaXT0)()0(tTX0)()(tTlX.sin)sincos(),(1lxnlatnBlatnAtxunnn边值确定本征值函数:.sin)sincos(),(lxnlatnBlatnAtxunnn初值确定叠加系数:;sin)(20dlnlAln.sin)(20dlnanBln注意:边界值等于零(齐次边界条件)是确定本征函数的根本。(二)例例1磁致伸缩换能器-两端自由的均匀细杆。自由:振动传递给外界0lxA.)()(),(tTxXtxu0''''2TXaXT0)()0('tTX0)()('tTlX分离变量:;0''2TaT;0''XX0)0('X和.0)('lXxCxCxXsincos)(21B.,02C0)cossin(21lClC222ln3,2,1,0n02xxttuau0),(lxxtxu0),(lxxtxu)(0xut)()(0xxuttlxnCxXcos)(1C.;0''2222Tla...

1、当您付费下载文档后,您只拥有了使用权限,并不意味着购买了版权,文档只能用于自身使用,不得用于其他商业用途(如 [转卖]进行直接盈利或[编辑后售卖]进行间接盈利)。
2、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。
3、如文档内容存在违规,或者侵犯商业秘密、侵犯著作权等,请点击“违规举报”。

碎片内容

第二章分离变量法

您可能关注的文档

确认删除?
VIP
微信客服
  • 扫码咨询
会员Q群
  • 会员专属群点击这里加入QQ群
客服邮箱
回到顶部