33．．22简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换栏目导引第三章三角恒等变换新知初探思维启动1.和、差角公式及倍角公式(1)sin(α＋β)＝_____________________；sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；(2)sin2α＝_________________；(3)cos(α＋β)＝____________________；cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；sinαcosβ＋cosαsinβ2sinαcosαcosαcosβ－sinαsinβ栏目导引第三章三角恒等变换(4)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(5)tan(α＋β)＝_______________；tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ；(6)tan2α＝____________.tanα＋tanβ1－tanαtanβ2tanα1－tan2α栏目导引第三章三角恒等变换2.半角公式在公式cos2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1中用α2代替α，得cosα＝____________＝____________．sinα2＝_________________.cosα2＝_________________．tanα2＝±1－cosα1＋cosα.1－2sin2α22cos2α2－1±1－cosα2±1＋cosα2栏目导引第三章三角恒等变换想一想已知sinα和cosα，能直接表示tanα2吗？(α≠kπ，k∈Z)提示：能．tanα2＝sinα2cosα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.栏目导引第三章三角恒等变换3.辅助角公式asinx＋bcosx＝___________sin(x＋θ)(其中a、b不同时为0，且tanθ＝___________)．a2＋b2ba做一做求值：cos10°tan20°＋3sin10°tan70°－2cos40°.栏目导引第三章三角恒等变换解：cos10°tan20°＋3sin10°tan70°－2cos40°＝cos20°cos10°sin20°＋3sin10°sin70°cos70°－2cos40°＝cos20°cos10°＋3sin10°cos20°sin20°－2cos40°栏目导引第三章三角恒等变换＝cos20°（cos10°＋3sin10°）sin20°－2cos40°＝2cos20°（cos10°sin30°＋sin10°cos30°）sin20°－2cos40°＝2（cos20°sin40°－sin20°cos40°）sin20°＝2.栏目导引第三章三角恒等变换典题例证技法归纳题型探究题型探究例例11三角函数式的化简问题已知π<α<3π2，化简：1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα.栏目导引第三章三角恒等变换【解】原式＝（sinα2＋cosα2）22|cosα2|－2|sinα2|＋（sinα2－cosα2）22|cosα2|＋2|sinα2|， π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cosα2<0，sinα2>0.栏目导引第三章三角恒等变换∴原式＝（sinα2＋cosα2）2－2sin（α2＋cosα2）＋（sinα2－cosα2）22（sinα2－cosα2）)＝－sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22＝－2cosα2.栏目导引第三章三角恒等变换变式训练1.化简12sin2x(1tanx2－tanx2)＋32cos2x.解：原式＝12sin2x(cosx2sinx2－sinx2cosx2)＋32cos2x栏目导引第三章三角恒等变换＝12sin2x·cos2x2－sin2x2sinx2cosx2＋32cos2x＝sin2x·cosxsinx＋32cos2x＝12sin2x＋32cos2x＝sin(2x＋π3)．栏目导引第三章三角恒等变换三角函数的求值问题例例22已知cosθ＝－35，且180°<θ<270°，求tanθ2.【解】法一： 180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，∴tanθ2<0，栏目导引第三章三角恒等变换∴tanθ2＝－1－cosθ1＋cosθ＝－1－（－35）1＋（－35）＝－2.法二： 180°<θ<270°，∴sinθ<0，∴sinθ＝－1－cos2θ＝－1－925＝－45，∴tanθ2＝sinθ1＋cosθ＝－451＋（－35）＝－2.栏目导引第三章三角恒等变换变式训练2.tan15°＋tan75°＝__________．解析：原式＝sin15°cos15°＋sin（90°－15°）cos（90°－15°）＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝sin215°＋cos215°sin15°·cos15°＝1sin15°·cos15°＝2sin30°＝4.栏目导引第三章三角恒等变换三角恒等式的证明问题例例33求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.【证明】法一：左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2栏目导引第三章三角恒等变换＝cos2αcos2α2－sin2α2sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos2αsinα2cosα2cosα＝sinα2cosα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边．∴原等式成立．栏目导引第三章三角恒等变换法二：左边＝cos2α1＋cosαsinα－1－cosαsinα＝cos2αsinα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边．∴原等式成立．栏目导引第三章三角恒等变换法三：左边...
