人工智能及应用VIP免费

不确定性推理证据理论D-S理论证据理论是由德普斯特(A.P.Dempster)提出，并由沙佛(G.Shfer)进一步发展起来的一种处理不确定性的理论。也称为D-S理论。其将概率的单点赋值扩展为集合赋值，弱化了公理系统。处理由不知道引起的的不确定性。概率分配函数定义4-1：设Ω是样本集，则由Ω的所有子集构成的集合称为Ω的幂集，记为2Ω。例：设Ω={红，黄，白}，求Ω的幂集2Ω解：Ω的幂集元素为Φ，{红}，{黄}，{白}，{红，黄}，{红，白}，{黄，白}，{红，黄，白}。概率分配函数定义4-2：设函数m:2Ω→[0,1]，且满足m(Φ)=0∑A⊆Ωm(A)=1称m是2Ω上的概率分配函数，m(A)称为A的基本概率数。概率分配函数例：为上一个例子定义一个概率分配函数。解：m(Φ，{红}，{黄}，{白}，{红，黄}，{红，白}，{黄，白}，{红，黄，白})={0,0.3,0,0.1,0.2,0.2,0,0.2}概率分配函数的两点说明概率分配函数将样本空间中的任意子集映射到［０，１］的一个数。–当子集是一个元素时，表示对此元素的精确信任度，也是对子集的精确信任度。–当子集是多个元素时，表示对子集的精确信任度，但不清楚子集中每个元素的信任度。–当子集是样本空间时，不知道如何将信任度分配给每个元素。概率分配函数的两点说明–如例中A={红}，m({红})=0.3表示对红的精确信任度是0.3；A={红，黄，白}，m({红，黄，白})=0.2表示这些信任度不知道如何分配给集合中的元素。概率分配函数不是概率。不满足概率的归一性。信任函数定义4-3：信任函数(Belieffunction)Bel:2Ω→[0,1]为对任给的A⊆ΩBel(A)=∑B⊆Am(B)Bel函数又称为下限函数，表示对A的总的信任度。信任函数接前例：Bel(Φ)=0Bel({红})=0.3Bel({红,白})=Bel({红})+Bel({白})+Bel({红,白})=0.3+0.1+0.2=0.6Bel({红,白,黄})=Bel({红})+Bel({白})+Bel({黄})+Bel({红,白})+Bel({红,黄})+Bel({黄,白})+Bel({红,黄,白})=1信任函数Bel(Φ)=m(Φ)=0Bel(Ω)=∑B⊆Ωm(B)=1似然函数定义4-4：似然函数(Plausibilityfunction)Pl(A):2Ω→[0,1]对任给的A⊆ΩPl(A)=1-Bel(¬A)似然函数又称为不可驳斥函数或上限函数。表示对A非假的信任度。似然函数接前例：Pl({红})=1-Bel(¬{红})=1-Bel({黄,白})=1-Bel({黄})-Bel({白})-Bel({黄,白})=0.9Pl({黄,白})=1-Bel(¬{黄,白})=1-Bel({红})=0.7似然函数可以证明Pl(A)=∑A∩B≠Φm(B)∑{红}∩B≠Φm(B)=m({红})+m({红,白})+m({红,黄})+m({红,白,黄})=0.3+0.2+0.2+0.2=0.9∑{黄,白}∩B≠Φm(B)=m({黄})+m({白})+m({红,黄})+m({白,黄})+m({红,白})+m({红,白,黄})=0+0.1+0+0.2+0.2+0.2=0.7似然函数Pl(A)-∑A∩B≠Φm(B)=1-Bel(¬A)-∑A∩B≠Φm(B)=1-(Bel(¬A)+∑A∩B≠Φm(B))=1-(∑B⊆¬Am(B)+∑A∩B≠Φm(B))=1-∑B⊆Ωm(B)=0∴Pl(A)=∑A∩B≠Φm(B)信任函数与似然函数的关系定理4-1：信任函数与似然函数有如下关系：对任给的A⊆Ω有Pl(A)≥Bel(A)证明： Bel(A)+Bel(¬A)=∑B⊆Am(B)+∑C⊆¬Am(C)≤∑B⊆Ωm(B)=1信任函数与似然函数的关系又 Pl(A)-Bel(A)=1-Bel(¬A)-Bel(A)=1-(Bel(¬A)+Bel(A))≥0∴Pl(A)≥Bel(A)使用信任函数与似然函数Bel(A)：表示A为真的信任度，为信任度下限。Pl(A)：表示A为非假的信任度，为信任度的上限。使用信任函数与似然函数表示事物的不确定性可以由事物的这两个函数值来描述，例如{红}{红}：[0.3,0.9]表示{红}的精确信任度为0.3，不可驳斥部分为0.9，而肯定不是{红}的为0.1典型值的含义A[0,1]：说明对A一无所知。Bel(A)=0,Pl(A)=1,说明对A没有信任，对¬A也没有信任。A[0,0]：说明A为假。Bel(A)=0,Pl(A)=0，Bel(¬A)=1。A[1,1]：说明A为真。概率分配函数的正交和定义4-5：设m和n是两个不同的概率分配函数，其正交和m⊕n满足m⊕n(Φ)=0m⊕n(A)=K-1X∑x∩y=Am(x)Xn(y)其中K=1-∑x∩y=Φm(x)Xn(y)概率分配函数的正交和设m1,m2,…,mn是n个不同的概率分配函数，其正交和m1⊕m2⊕,…,⊕mn满足m1⊕m2⊕,…,⊕mn(Φ)=0m1⊕m2⊕,…,⊕mn(A)=K-1X∑∩Ai=A∏1≤i≤nmi(Ai)其中K=∑∩Ai≠Φ∏1≤i≤nmi(Ai)概率分配函数的正交和例：设样本空间Ω={a,b},从不同的知识来源得到的概率分配函数分别为：m1(Φ,{...