中值定理下嫁高考三VIP专享

中值定理“下嫁”高考近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解答.本文主要先归类总结，再通过一些具体的高考试题，利用拉格朗日中值定理解答，并与参考答案的解法作比较，体现高观点解题的好处.拉格朗日中值定理：若函数 f 满足如下条件：（i） f 在闭区间[a,b] 上连续；（ii） f 在开区间(a,b)内可导；'则在a,b内至少存在一点 ，使得 f   f b f ab  a.一、证明f xf x a 或 a 成立（其中 x  0 ）xx例：（2007年高考全国卷I第20题）设函数 f x e e.xx（Ⅰ）证明： f x的导数 f 'x 2；f x ax ，则a 的取值范围是(,2].（Ⅱ）证明：若对所有 x  0 ，都有（Ⅰ）略.（Ⅱ）证明：（i）当 x  0时，对任意的a ，都有 f x axex  ex(ii)当 x  0时，问题即转化为a 对所有 x  0恒成立.xf x f 0ex  ex 令Gx，由拉格朗日中值定理知0,x内至少存在一点 （从xx  0而  0），使得 f '  f x f 0x  0，即Gx f '   e  e ，由于f ''  e e  e0 e0  0，故 f '  在0,x上是增函数，让 x  0 得Gxmin  f '  e  e  f '0 2 ，所以a 的取值范围是(,2].评注：第(2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法.即令 gx f xax ，再分a  2和a  2 两种情况讨论.其中，a  2 又要去解方程 g'x 0 .但这有两个缺点：首第 1 页 共 6 页先，为什么 a 的取值范围要以2 为分界展开.其次，方程 g'x 0 求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦.二、证明 ga gb 2g  a  b    (b  a),b  a成立2例：（2004年四川卷第22题）已知函数 f x ln(1 x)  x, gx xln x .（Ⅰ）求函数 f x的最大值；（Ⅱ）设0  a  b  2a ，证明： ga gb 2g （Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：依题意，有g x ln x 1' a  b   (b  a)ln 2 .2...