条件概率与事件的独立性VIP专享VIP免费

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.§1.3条件概率与事件的独立性1.条件概率的概念:如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).一般P(A|B)≠P(A)一、条件概率.P(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，B={掷出偶数点}，P(A|B)=？掷骰子已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，于是P(A|B)=1/3.B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中，容易看到)()(636131BPABPP(A|B).P(A)=3/10，又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B))()(10710373BPABP.P(A)=3/10，B={取到正品}P(A|B)=3/7本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.A={取到一等品}，计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题..若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有(1).设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称(1))()()|(BPABPBAPΩABAB2.条件概率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率..3.条件概率的性质(自行验证)设B是一事件，且P(B)>0,则1.对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;2.P(Ω|B)=1；3.设A1,…,An互不相容，则P((A1+…+An)|B)=P(A1|B)+…+P(An|B)而且,前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率.请自行写出..2)从加入条件后改变了的情况去算4.条件概率的计算1)用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)>0掷骰子例：A={掷出2点}，B={掷出偶数点}P(A|B）=31B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数.例1掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1:)()()|(BPABPBAP解法2:2163)|(BAP解:设A={掷出点数之和不小于10}B={第一颗掷出6点}应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算21366363.由条件概率的定义：即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2))()()|(BPABPBAP而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调,有故若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率.注意P(AB)与P(A|B)的区别！请看下面的例子.例2甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB).甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产300个乙厂生产设B=“零件是乙厂生产”A=“是标准件”.所求为P(AB).设B=“零件是乙厂生产”A=“是标准件”若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”求的是P(A|B).B发生,在P(AB)中作为结果;在P(A|B)中作为条件.甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产.例3设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B|A).)()()|(APABPABP5.08.04.0)()(APBP.条件概率P(A|B)与P(A)的区别每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.P(A)与P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率..当P(A1A2…An-1)>0时，有P(A1A2…An）=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)可推广到多个事件的乘法公式:.例3有15支笔(10支钢笔,5支圆珠笔),现随机地分成5组,每组各有3支笔,试求每组内恰有2支钢笔1支圆珠笔的概率．解:设Ak=“第k组内恰有2支钢笔1支圆珠笔”，k=1,2,…,5.)()()()()()(43215321421312154321AAAAAPAAAAPAAAP...