序列的极限解析VIP免费

§1．3序列的极限一、序序序序序序序⒉序序序序序⒊用定义证明极限举例⒈序列定义、序列举例、序列的几何意义极限的定义、极限的几何意义极限的唯一性、收敛序列的有界性收敛序列与其子序列间的关系二、夹逼定理三、收敛序列的性质极限的保序性四、极限的四则运算五、一个重要的极限11.序列的概念如可用渐近的方法求圆的面积？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积：．．．．．．1r四边形r八边形r十六边形一个实际问题2sin221rA4sin422rA8sin823rAnnrAn2sin22．．．．．．2序列：如果按照某一法则，使得对任何一个正整数n有一个确定的数xn，则得到一列有次序的数x1，x2，x3，…，xn，…这一列有次序的数就叫做序列，记为{xn}，其中第n项xn叫做数列的通项．序列举例：21，32，43，…，1nn，…；3序列举例：2，4，8，…，2n，…，通项为2n通项为12n1，1，1，…，(1)n1，…；通项为(1)n+1通项为21，41，81，…，n21，…；1552(1),,,,,123nnn通项为2(1)nnn02021(1),,,,,,1234nn1(1)nn4序列的几何意义：序列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数：xn=f(n)，它的定义域是全体正整数．x1x8x7x6x5x4x3x2xnOx序列与函数：x1=f(1)x2=f(2)x3=f(3)x4=f(4)x5=f(5)x6=f(6)．．．．．.xn=f(n)序列{xn}可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1，x2，x3，…，xn，…．52.序列的极限例如如果序列没有极限，就说序列是发散的．nlimxna．而序列{2n}，{(1)n1}，是发散的．,11nnnlim,021nnlim．nnn1(-1)nlim序列的极限的通俗定义：对于序列{xn}，如果当n无限增大时，序列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a，则称常数a是序列{xn}的极限，或称序列{xn}收敛a．记为6对无限接近的刻划：“当n无限增大时，xn无限接近于a”等价于：当n无限增大时，|xna|无限接近于0；或者说，要|xna|有多小，只要n足够大，|xna|就能有多小．nnn1)1(比如，当n无限增大时，xn=无限接近于1，1001n1|xn1|=无限接近于0，要使|xn1|<，只需n>100；要使|xn1|<，只需n>10000．100001一般地，要使|xn1|<，只需n>．17极限的精确定义：定义如果序列{xn}与常数a有下列关系：对于任意给定的正数序序序序序序序序序序序序序N，使得对于n>N时的一切xn，不等式|xna|<序序序序序序序序a是序列{xn}的极限，或者称序列{xn}收敛于a，记为或xna(n)．如果序列没有极限，就说序列是发散的．,limaxnn序序序表示:任给,对一切,;"lim""0,0,,."nnnxaNnNxa使得就有表示:存在,对某个,8序列极限的几何意义：对于任意给定的正数序序序序序序序N，使得对于n>N时的一切xn，不等式|xna|<序序序序序序序序序序序序序序序序a的序序a-a+序序序序序序序N，使得当n>N时，所有的点xn都落在区间a-a+内，而只有有限(至多只有N个)在区间a－a+以外.xOaa－a+()x1xNxN+1xN+2xN+3xN+5xN+4x29对于任意给定的正数>0，例1证明数列2，21，34，…，nnn1(-1)，…的极限是1．.1)1()1(1)1(|1|111nnnnnnnxnnnn要使,1|1|nxn,1n只需故取.1N注意，当时，1Nn.1n有3.用定义证明极限举例分析：10证明：因为对于任意给定的>0，存在N=[1/，使当n>N时，有所以,1|1|nxn.1)1(lim1nnnn例1证明数列2，21，34，…，nnn1(-1)，…的极限是1．3.用定义证明极限举例0,[1],,NnN则当时,1|1|nxn序序序序所以.1)1(lim1nnnn11序序序序序序序>0，要使只需故取分析：例2已知xn21)(n)1(n，证明数列{xn}的极限是0．22)1(10)1()1(|0|nnxnn,)1(1|0|2nxn,11n.11N注意：当n>11N时，.11n12所以，证明：因为对任意给定的正数>0，存在使当n>N时，有例2已知xn21)(n)1(n，证明数列{xn}的极限...