专升本高数极限与连续VIP免费

第一章极限和连续（一）数列的极限1.数列12:,,,,12324622341nnnxxxxxnnn数列常表示为其中称为数列的通项。例如：，，，，，；，，，，，单调数列：为单调增数列，则称若nnnxxxn1,为单调减数列，则称若nnnxxxn1,有界数列：MxnMn有使得若,,0§1.1极限2.数列的极限如果当n无限增大时,xn无限地接近于常数a,那末称a为数列{xn}的极限。lim()nnnxaxan记作：或表示n很大时，xn几乎都凝聚在点a的近旁。数列极限的几何解释lim00nnnxaNnNxa，，当时，总有有极限的数列称为收敛数列，反之称为发散数列。()a-n>Na+a•定理2（有界性）收敛数列必有界(••())AB(二)收敛数列的性质定理1（唯一性）若数列{xn}收敛，则其极限值唯一。3(lim0(0)0(0)nnnnxaaaNnNxx定理保号性)若且或则必存在，当时恒有或0(0)lim0(0)nnnnxxxaaa推论：若或且，则或0••a()极限存在准则准则1.单调有界数列必有极限。有界是数列收敛的必要条件，单调有界是数列收敛的充分条件。11.{(1)}nn例数列的极限存在。1lim(1)2,7182818nnen2.(){},{},{}xyznnn准则夹逼准则设有三个数列满足条件：2)lim,limnnnnyaza{}limnnnxxa那么数列的极限存在，且1)(1,2,)nnnyxzn2.limlimnnnnxAaA推论若，则极限运算法则1.limlimlim()nnnnnnnxAyBxyAB法则若，，则2.limlimlim()nnnnnnnxAyBxyAB法则若，，则3.limlim0limnnnnnnnxAxAyBByB法则若，，且，则1.limlimnnnnxAccxcA推论若，为常数，则1231231.111(1)248(1)0.90.990.999xxxxxx例求下列数列的极限：，，，；，，，。32322232.234112(1)lim(2)lim3521111(3)lim[]122334(1)1(2)lim(sin!)32nnnnnnnnnnnnnnnn例求下列数列的极限：；；；。（三）函数的极限lim()()()xfxAfxAx或lim()()()xfxAfxAx或1.当x→∞时函数的极限(1)定义对于函数f(x)，如果当x→∞时，f(x)无限趋近于常数A，则称A为函数f(x)当x→∞时的极限，记为：(3)定义对于函数f(x)，如果当x→-∞时，f(x)无限趋近于常数A，则称A为函数f(x)当x→-∞时的极限，记为：lim()()()xfxAfxAx或(2)定义对于函数f(x)，如果当x→+∞时，f(x)无限趋近于常数A，则称A为函数f(x)当x→+∞时的极限，记为：无极限举例：均存在且相等。及存在的充要条件是定理)(lim)(lim)(lim.xfxfxfxxx1()fxx，()sinfxx，xxfarctan)(12.lim(1)1xx例；1lim(1)1xx；lim(1)1xxe2.当x→x0时函数的极限00lim()()()xxfxAfxAxx或(1)定义对于函数f(x)，如果当x无限地趋近于x0时，函数f(x)无限地趋近于一个常数A，则称A为函数f(x)当x→x0时的极限，记为：00lim()()()xxfxAfxAxx或00lim()()()xxfxAfxAxx或(3)定义对于函数f(x)，如果当x从x0右边无限地趋近于x0时，函数f(x)无限地趋近于一个常数A，则称A为函数f(x)当x→x0时的右极限，记为：(2)定义对于函数f(x)，如果当x从x0左边无限地趋近于x0时，函数f(x)无限地趋近于一个常数A，则称A为函数f(x)当x→x0时的左极限，记为：11213.()021xxfxx例讨论函数在处是否有极限。?1212lim)(lim1100xxxxxf解：=1?110021lim()lim121xxxxfx110021lim()lim121xxxxfx，0002.lim()lim()lim()xxxxxxfxfxfx定理存在，均存在且相等。0lim()xfx不存在。104.()00010xxfxxxxx，例讨论函数，在处是否有极限。，00lim()lim(1)1xxfxx解：，00lim()lim(1)1xxfxx，00lim()lim()xxfxfx，0lim()xfx不存在。无极限举例：在讨论分段函数的分割点的极限时，一定要考虑左、右极限。11)()0fxxx，2)()0xfxxx，13)()sin0fxxx，1...