理论力学(周衍柏)习题答案,第五章

第五章习题解答 5.1 解 如题5.1.1 图 杆受理想约束，在满足题意的约束条件下杆的位置可由杆与水平方向夹角所唯一确定。杆的自由度为1，由平衡条件： 即 mgy =0① 变换方程 y =2rcossin-= rsin2② 故 ③ 代回①式即 因在约束下是任意的，要使上式成立必须有： rcos2-=0 ④ 又由于 cos= 故 cos2= 代回④式得 5.2 解 如题 5.2.1 图 三球受理想约束，球的位置可以由确定，自由度数为 1，故。 得 由虚功原理 故 ① 因在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须 故 ② 又由 得： ③ 由②③可得 5.3 解 如题 5.3.1 图， 在相距2a 的两钉处约束反力垂直于虚位移，为理想约束。去掉绳代之以力T，且视为主动力后采用虚功原理，一确定便可确定ABCD 的位置。因此自由度数为1。选为广义坐。 由虚功原理： w① 又 取变分得 代入①式得： 化简得 ② 设 因在约束条件下任意，欲使上式成立，须有： 由此得 5.4 解 自由度，质点位置为。 由 ① 由已知得 故 ② 约束方程 ③ 联立②③可求得 或 又由于 故 或 5.5 解 如题5.5.1 图 按题意仅重力作用，为保守系。因为已知，故可认为自由度为1.选广义坐标，在球面坐标系中，质点的 动能： 由于 所以 又由于 故 取Ox 为零势，体系势能为： 故力学体系的拉氏函数为： 5.6 解 如题5.6.1 图. 平面运动，一个自由度. 选广义坐标为，广义速度 因未定体系受力类型，由一般形式的拉格朗日方程 ① 在 广义力 代入①得： ② 在极坐标系下： ③ 故 将以上各式代入②式得 5.7 解 如题5.7.1 图 又由于 所以 ① 取坐标原点为零势面 ② 拉氏函数 ③ 代入保守系拉格朗日方程得 代入保守系拉格朗日方程 得 5.8 解：如图 5.8.1 图. (1)由于细管以匀角速转动，因此=可以认为质点的自由度为 1. (2)取广义坐标. (3)根据极坐标系中的动能 取初始水平面为零势能面，势能: 拉氏函数 ① (4) ， 代入拉氏方程 得： (5)先求齐次方程的解. ② 特解为 故①式的通解为 ③ 在时： ④ ⑤ 联立④⑤得 将代回式③可得方程的解为： 5.9 解 如题 5.9.1 图. （1）按题意为保守力系，质点被约束在圆锥面内运动，故自有度数为 2. （2）选广义坐标，. （3）在柱坐标系中： 以面为零势能面，则： 拉氏函数 -① （4）因为不显含，所以为循环坐标，即 常数② 对另一广义坐标 代入保守系拉氏方程 ③...