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瓜豆原理解析

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最值系列之瓜豆原理 在辅助圆问题中,我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹,即可求出关于动点的最值. 本文继续讨论另一类动点引发的最值问题,在此类题目中,题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的可以是另一点Q,当然 P、Q 之间存在某种联系,从 P 点出发探讨 Q 点运动轨迹并求出最值,为常规思路. 一、轨迹之圆篇 引例 1:如图,P 是圆O 上一个动点,A 为定点,连接 AP,Q 为 AP 中点. 考虑:当点P 在圆O 上运动时,Q 点轨迹是 AOPQ 【分析】观察动图可知点Q 轨迹是个圆,而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系 考虑到 Q 点始终为 AP 中点,连接 AO,取 AO 中点M,则 M 点即为 Q 点轨迹圆圆心 ,半 径 MQ 是 OP 一半 ,任 意 时 刻 ,均 有 △AMQ∽ △ AOP,QM:PO=AQ:AP=1:2. QPOAM 【小结】确定Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径, 由A、Q、P 始终共线可得:A、M、O 三点共线, 由Q 为 AP 中点可得:AM=1/2AO. Q 点轨迹相当于是 P 点轨迹成比例缩放. 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系; 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系. 引例2:如图,P 是圆O 上一个动点,A 为定点,连接AP,作AQ⊥AP 且AQ=AP. 考虑:当点P 在圆O 上运动时,Q 点轨迹是 OPQA 【分析】Q 点轨迹是个圆,可理解为将AP 绕点A 逆时针旋转90°得 AQ,故 Q 点轨迹与 P 点轨迹都是圆.接下来确定圆心与半径. 考虑AP⊥AQ,可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM⊥AO; 考虑AP=AQ,可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM=AO,且可得半径 MQ=PO. 即可确定圆M 位置,任意时刻均有△APO≌△AQM. MAQPO 引例3:如图,△APQ 是直角三角形,∠PAQ=90°且AP=2AQ,当P 在圆O运动时,Q 点轨迹是 OPQA 【分析】考虑AP⊥AQ,可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM⊥AO; 考虑AP:AQ=2:1,可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AO:AM=2:1. 即可确定圆M 位置,任意时刻均有△APO∽△AQM,且相似比为2. OPQMA 【模型总结】 为了便于区分动点P、Q,可称点P 为“主动点”,点Q 为“从动点”. 此类问题的必要条件:两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ 是定值); 主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ 是定值). αAQPOααOPQMA 【结论】(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角: ∠PA...

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