第一节 有限元分析概述 对于一般的工程受力问题，希望通过平衡微分方程、变形协调方程、几何方程和本构方程联立求解而获得整个问题的精确解是十分困难的，一般几乎是不可能的。随着 20世纪五六十年代计算机技术的出现和发展、以及工程实践中对数值分析要求的日益增长，并发展起来了有限元的分析方法。有限元法自 1960年由 Clough首次提出后，获得了迅速的发展；虽然首先只是应用于结构的应力分析，但很快就广泛应用于求解热传导、电磁场、流体力学、成形工艺等连续问题。 一、有限元法的基本概念 对于连续体的受力问题，既然作为一个整体获得精确求解十分困难；于是，作为近似求解，可以假想地将整个求解区域离散化，分解成为一定形状有限数量的小区域（即单元），彼此之间只在一定数量的指定点（即节点）处相互连接，组成一个单元的集合体以替代原来的连续体，如图7-1弯曲凹模的受力分析所示；只要先求得各节点的位移，即能根据相应的数值方法近似求得区域内的其他各场量的分布；这就是有限元法的基本思想。 从物理的角度理解，即将一个连续的凹模截面分割成图 7-1所示的有限数量的小三角形单元，而单元之间只在节点处以铰链相连接，由单元组合成的结构近似代替原来的连续结构。如果能合理地求得各单元的力学特性，也就可以求出组合结构的力学特性。于是，该结构在一定的约束条件下，在给定的载荷作用下，各节点的位移即可以求得，进而求出单元内的其他物理场量。这就是有限元方法直观的物理的解释。 从数学角度理解，是将图7-1所示的求解区域剖分成许多三角形子区域，子域内的位移可以由相应各节点的待定位移合理插值来表示。根据原问题的控制方程（如最小势能原理）和约束条件，可以求解出各节点的待定位移，进而求得其他场量。推广到其他连续域问题，节点未知量也可以是压力、温度、速度等物理量。这就是有限元方法的数学解释。 从有限元法的解释可得，有限元法的实质就是将一个无限的连续体，理想化为有限个单元的组合体，使复杂问题简化为适合于数值解法的结构型问题；且在一定的条件下，问题简化后求得的近似解能够趋近于真实解。 由于对整个连续体进行离散，分解成为小的单元；因此，有限元法可适用于任意复杂的几何结构，也便于处理不同的边界条件；在满足条件下，如果单元越小、节点越多，有限元数值解的精度就越高。但随着单元的细分，需处理的数据量非常庞大，采用手工方式难以完成，必须借助计算机；计算机具有大存储量和...
