圆锥曲线存在性问题

第九章圆锥曲线中的存在性问题解析几何圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替（1）点：坐标x0, y0（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。二、典型例题：x2y23例 1：已知椭圆C :2 2 1a  b  0的离心率为，过右焦点 F 的直线l 与C 相交3ab于 A, B 两点，当l 的斜率为1 时，坐标原点O 到l 的距离为（1）求a,b 的值（2）C 上是否存在点 P ，使得当l 绕 F 旋转到某一位置时，有OP  OA OB 成立？若存在，求出所有的 P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由解：（1）e 2。2c3 a : b : c 3 :2 :1a3第九章圆锥曲线中的存在性问题解析几何则a 3c,b 2c ，依题意可得：Fc,0，当l 的斜率为1 时l : y  x  c  x  y  c  0dOl  c22解得：c 12x2y2a 3,b 2椭圆方程为： 132（2）设 Px0, y0， Ax1, y1,Bx2, y2当l 斜率存在时，设l : y  kx 1x  x1  x2OP  OA  OB0y0  y1  y22y  kx 122联立直线与椭圆方程：消去 y 可得：2x  3k x 1  6，整理可得：222x  3y  63k 2  2x2  6k 2x  3k 2  6  06k 26k 34kx1  x2 2 2k  y1  y2  kx1  x2 2k 3k  23k 2  23k 2  26k 24kP2,2因为 P 在椭圆上3k ...