第二章Langevin方程与数值模拟

第二章 Langevin 方程与数值模拟 问题：系统的作用量或Hamiltonian 量为S 平衡态分布为 Se ， （这里温度已吸收到S）。假设系统0t时处于一初始状态 系统如何演化至平衡态？ 如果初始状态不是平衡态，这便是一个驰豫动力学过程。 如果初始状态是平衡态，这是平衡态的动力学涨落问题。 第一节 单自由度的Langevin 方程和 Fokker-Planck 方程  实数:xxSS  Langevin 方程    txxSdttdx     :02ttttt高斯随机数 对固定 t  P  2e  2201edZedZt 这里的 t 通常也是介观时间。 如果没有随机力，平衡态为  0dx tS xdtx ，即能量取极小值。如果存在随机力，体系会被推离能量极小，处于某种能量较高的平衡态。 例如：布朗运动 —— 花粉在液体中的运动   0ttvdtvdm 一维解    010t tttmmv tetdtvem      2222200tt tttmmttvtveedt dtm   2222020tt ttmmveedtm 如  2221001ttmmveem 如 220tm ，这便是随机行走。 在布朗运动的方程中加入自身的相互作用   dvSvtmtdtx  可以理解为广义的 Lan gev in 方程。设想这一方程是真正的微观运动方程，对时间做某种介观的平均，常常加速度的项可以忽略。 由于随机力的存在，Lan gev in 方程有他的复杂性，因为我们必须考虑对随机力平均带来的奇异性。为了简单起见，我们对 时间分立化  在数值模拟中应用  较直观    ttttt2，tttttt01 Z  21=21lnZ ∴ 4t Langevin 方程    ( )S x tx tx ttx ttttx     令  2t ∴ ()(')t ttt     ttttxtxStx2 方程的解  tx是随机变量，在数值模拟中给定初始值 txx,0还不确定，与随机力有关。也就是说，在 t 时刻，x 遵从一个分布...