第二章导数与微分习题汇总

第 二 章 导 数 与微分 【内容提要】 1．导数的概念 设函数y＝f(x)在x0 的某邻域（x0－δ，x0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x0 处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()yf xxf x  ．若0x时，极限xyx0lim存在，则称函数y＝f(x)在x＝x0 处可导，称此极限值为 f(x)在点x0 处的导数，记为 )(0xf 或)(0xy或0|xxy或0|ddxxxy或0|ddxxxf 0x时，改变量比值的极限xyx0lim称 f(x)在x0 处的右导数，记为)(0xf。 0x时，改变量比值的极限xyx0lim称 f(x)在x0 处的左导数，记为)(0xf。 2．导数的意义 导数的几何意义：)(0xf 是曲线 y＝f(x)在点(x0，y0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。 导数的物理意义：路程对时间的导数)(0ts是瞬时速度 v(t0) 。以此类推，速度对时间的导数)(0tv是瞬时加速度 a(t0)。 3．可导与连续的关系 定理 若函数)(xfy 在点x0 处可导，则函数在点x0 处一定连续。 此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。 4 ．导数的运算 定理 1（代数和求导法则）若 u(x)和 v(x)都在点x 处可导，则 vuvu )( 定理 2（积的求导法则）若 u(x)和 v(x)都在点x 处可导，则 vuvuuv)( 定理 3（商的求导法则）若 u(x)和 v(x)都在点x 处可导，且 v(x)≠0，则 2vvuvuvu 定理4 若函数 )(xgu 在点x 处可导，且 )(ufy 在其相应点u 处可导，则复合函数)]([xgfy 在x 处可导，且 xuxuyy 或 ddddddyyuxux 5．基本初等函数求导公式 本节中我们已求出了所有基本初等函数的导数，整理所下： 0)(C 1)(xx aaaxxln)( xxe)e( axxaln1)(log xx1)(ln xxcos)(sin xxsin)(cos xx2sec)(tan xx2csc)(cot xxxtansec)(sec xxxcotcsc)(csc 211)(arcsinxx 211)(arccosxx 211)(arctanxx 211)cotarc(x 这些基本导数公式必须熟记，与各种求导法则、求导方法配合，可求初等函数的导数。 6．微分的概念 设函数)(xfy 在点x 处可导，则称函数)(xf在x 点的导数)(xf 与自变量增量Δx的乘积为函数)(xfy 在 x 处的微分，记为 xxfy)(d 若xy ，则Δx＝...