第 二 章 导 数 与微分 【内容提要】 1.导数的概念 设函数y=f(x)在x0 的某邻域(x0-δ,x0 + δ)(δ>0)内有定义,当自变量x 在点x0 处有改变量Δx 时,相应地,函数有改变量00()()yf xxf x .若0x时,极限xyx0lim存在,则称函数y=f(x)在x=x0 处可导,称此极限值为 f(x)在点x0 处的导数,记为 )(0xf 或)(0xy或0|xxy或0|ddxxxy或0|ddxxxf 0x时,改变量比值的极限xyx0lim称 f(x)在x0 处的右导数,记为)(0xf。 0x时,改变量比值的极限xyx0lim称 f(x)在x0 处的左导数,记为)(0xf。 2.导数的意义 导数的几何意义:)(0xf 是曲线 y=f(x)在点(x0,y0)处切线的斜率,导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景,是微分学的几何应用的基础。 导数的物理意义:路程对时间的导数)(0ts是瞬时速度 v(t0) 。以此类推,速度对时间的导数)(0tv是瞬时加速度 a(t0)。 3.可导与连续的关系 定理 若函数)(xfy 在点x0 处可导,则函数在点x0 处一定连续。 此定理的逆命题不成立,即连续未必可导。 4 .导数的运算 定理 1(代数和求导法则)若 u(x)和 v(x)都在点x 处可导,则 vuvu )( 定理 2(积的求导法则)若 u(x)和 v(x)都在点x 处可导,则 vuvuuv)( 定理 3(商的求导法则)若 u(x)和 v(x)都在点x 处可导,且 v(x)≠0,则 2vvuvuvu 定理4 若函数 )(xgu 在点x 处可导,且 )(ufy 在其相应点u 处可导,则复合函数)]([xgfy 在x 处可导,且 xuxuyy 或 ddddddyyuxux 5.基本初等函数求导公式 本节中我们已求出了所有基本初等函数的导数,整理所下: 0)(C 1)(xx aaaxxln)( xxe)e( axxaln1)(log xx1)(ln xxcos)(sin xxsin)(cos xx2sec)(tan xx2csc)(cot xxxtansec)(sec xxxcotcsc)(csc 211)(arcsinxx 211)(arccosxx 211)(arctanxx 211)cotarc(x 这些基本导数公式必须熟记,与各种求导法则、求导方法配合,可求初等函数的导数。 6.微分的概念 设函数)(xfy 在点x 处可导,则称函数)(xf在x 点的导数)(xf 与自变量增量Δx的乘积为函数)(xfy 在 x 处的微分,记为 xxfy)(d 若xy ,则Δx=...