第五章二次型习题答案

- 1 - 第五章 二次型 本章课后习题全解 习 题（P232-P234） 1．（Ⅰ）用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果： 1）323121224xxxxxx； 2）23322221214422xxxxxxx； （Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换． 解 （Ⅰ）1）设 323121321224,,xxxxxxxxxf，此二次型不含有平方项，故作非退化线性替换 11221233,,,xyyxyyxy 并配方，得到 312221321444,,yyyyxxxf2223233121444yyyyyy 2221332(2)4yyyy ， 再作非退化线性替换 11322332,,.zyyzyzy 即 113223311,22,.yzzyzyz 于是，原二次型的标准形为 2322213214,,zzzxxxf， 并且，所经过的非退化线性替换为 - 2 - 112321233311,2211,22,xzzzxzzzxz 写成矩阵形式即为XCY ，其中1112211122001C．根据矩阵验算，得 11111022021100221111010110402211110001001122C AC． 2 ）设123( ,,)f x x x23322221214422xxxxxxx． 解法1 配方法．对原二次型进行配方，得 222222123112222331223,,(2)(44)()(2)f x x xxx xxxx xxxxxx， 于是，令 11222333,2,,yxxyxxyx 则原二次型的标准形为 2212312( ,,)f x x xyy， 且所作的非退化线性替换为 1123223332,2,.xyyyxyyxy 相应的替换矩阵为 - 3 - 112012001C， 验算，得 100110112100110122012010221024001000 C AC． 解法2 矩阵的合同变换法（见本章教材内容全解之标准形的求法）．对AE施行初等变换，得 110100100122012010024024000100110112010010012001001001...