第五章矩阵的特征值和特征向量

第五章 矩阵的特征值和特征向量 习题一 矩阵的特征值和特征向量 一、填空题 1．A 为 n 阶方阵，Ax=0 有非零解，则 A 必有一特征值为________． 2．若 0 为 A 的特征值，则 Ak(k 为正整数)有特征值为________． 3．若  为 A 的特征向量，则________为 P-1AP 的特征向量． 4．n阶矩阵A 与_____________有相同的特征值． 二、计算题 1.设 A=122212221 (1) 试求矩阵A 的特征值； (2) 利用(1)的结果，求矩阵E+A-1 的特征值，其中 E 是三阶单位矩阵． ２．求矩阵A=632223221的实特征值及对应的特征向量． 三、证明题 1．设 A 满足 A2-3A+2E=0，证明其特征值只能取值1 或 2． 2．若n阶矩阵A ，存在自然数m ，使得0mA，则 A 的特征值是０． 3．如果 A 可逆， 是 A 的特征值，则1是1A的特征值． 4．证明：)()(),()()(AkTrkATrBTrATrBATr． 习题二 相似矩阵和矩阵可对角化 一、填空题 1．若 A~kE，则 A=________． 2．若 n 阶方阵A 与 B 相似，且 A2=A，则 B2=________．． 3．已知 A=533242111，B=20002000 且 A~B，则 =________． 4． A 可对角化当且仅当 ． 5．n 阶矩阵A 有n 个互不相同的特征值是 A 可对角化的___________． 6．判别矩阵A 可对角化的方法是 ． 二、 1．设 A=[aij]为三角矩阵，且对角线元素互不相等．试指出 A 是否有与它相似的对角矩阵，并说明理由． 2．矩阵A=314020112能否对角化？若能，求可逆矩阵P，使 P-1AP 为对角矩阵． 三、判别下列矩阵是否可对角化 001010100A 031302120B 四、矩阵A=11322002x和B=y00020001是相似矩阵． 求x与y； 习题三 实对称矩阵的对角化 一、求正交矩阵T ，使ATT1为对角矩阵． ① 342432220A ② 120222023B ③ 4101141001411014C 二、设实对称矩阵 A=124222421，求可逆矩阵 Q，使 Q-1AQ 为对角矩阵． 三、已知三阶方阵 A 的特征值为 1，-1，2，设矩阵 B=A3-5A2 试求：(1) ...