群的基本知识

第一章 群的基本知识 二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein）发现相对论之后，对称性的研究在物理学中越来越重要。对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性，如强作用的SU(2)同位旋对称，SU(3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU(1)的对称，偶偶核的U(6)动力学对称等等。从七十年代起，又开展了超对称性的研究。群论是研究对称性问题的数学基础，因此，它越来越受到物理学工作者的重视。 1.1 群 定义 1.1 设G 是一些元素的集合，}{},,{ggG.在G 中定义了乘法运算。如果G对这种运算满足下面四个条件： （1） 封闭性。即对任意 Ggf,，若hfg ，必有Gh 。 （2） 结合律。对任意Ghgf,,，都有 )(ghfhfg. （3） 有唯一的单位元素。有Ge，对任意Gf ，都有ffeef （4） 有逆元素。对任意Gf ，有唯一的Gf1，使effff11 则称G 为一个群。e 称为群G 的单位元素，1f称为f 的逆元素。 例 1 空间反演群。 设 E 和 I 对三维实空间3R 中向量r 的作用为 rrIrrE, 即E 是保持r 不变的恒等变换，I 是使r 反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续对r 作用。集合IE,构 成 反演群，其 乘法表 见 表 1.1. 例 2 n 阶 置 换群nS ，又称n 阶 对称群。将 n 个元素的集合},,2,1{nX映 为自 身 的置 换为 ,2121nmnmmP 其 中nmmm,,,21是 n,,2,1的任意排 列 ，P 表 示 把 1 映 为1m ，2 映 为2m ，n 映 为nm 的映 射 。显 然 置 换只 与 每 列 的相对符 号 有关 ，与 第 一行 符 号 的顺 序 无 关 ，如 2421 3143=2324 4113。 定义两 个置 换'P 和 P 的乘积PP '，为先 实行 置 换P ，再 实行 置 换'P ，如 1221 332321 13=1321 23。 容易看出在这乘法定义下，全部n 阶置换构成nS 群。nS 群共有 !n 个元素。 例 3 平面三角形对称群3D ，又称为 6 阶二面体群。 考虑重心在原点，底边与 x 轴平行的 xy 平面上的正三角形 ABC，见图 1.1（a ）。保持正三角形不变的空间转动操作有 :e 不转，:d 绕 z 轴转32，:f绕 z 轴转34， :...