复变函数及积分变换重要知识点归纳

复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念： z  x iy， x, y是实数,x  Rez, y  Imz.i2  1.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模： z x2  y2 ；2）幅角：在 z  0时，矢量与 x 轴正向的夹角，记为 Argz（多值函数）；主值 argz是位于(,]中的幅角。3）argz与arctan y 之间的关系如下：xy ；x当 x  0,arg z  arctany  0,arg z  arctan当 x  0,y  0,arg z  arctany x；y x4）三角表示：z  z cos isin，其中  arg z；注：中间一定是“+”号。5）指数表示： z (二) 复数的运算1.加减法：若 z1  x1  iy1, z2  x2  iy2 ，则 z1  z2 x1  x2iy1  y22.乘除法：1）若 z1  x1  iy1, z2  x2  iy2 ，则z1z2 x1x2  y1y2ix2y1  x1y2；z ei，其中  arg z。z1x1  iy1x1  iy1x2 iy2x1x2  y1y2y1x2  y2x1 。 i2222z2x2 iy2x2 iy2x2 iy2x2  y2x2  y2122）若 z1  z1 ei , z2  z2 ei , 则z1z2  z1 z2 e 1i  2； z1z2 z1i12ez23.乘幂与方根1） 若 z  z (cos isin)  z ei ，则 zn 2） 若 z  z (cos isin)  z ei ，则nz (cosn isin n)  z ein。nn  2k  2k z  zcos isinnn1n(k  0,1,2n 1)（有 n 个相异的值）（三）复变函数1．复变函数： w  f z，在几何上可以看作把 z 平面上的一个点集 D变到 w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数1）指数函数： ez  ex cos y isin y，在 z 平面处处可导，处处解析；且ez  ez 。注： e z是以 2 i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3） 对数函数：；Lnz  ln z i(argz  2k ) (k  0,1,2)（多值函数）主值：ln z  ln z iarg z 。（单值函数）Lnz 的每一个主值分支 ln z 在除去原点及负实轴的 z 平面内处处解析，且lnz  1 ；z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）3）乘幂与...