复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果 y 是u 的函数,u 又是 x 的函数,即 y f (u) ,u g(x) ,那么 y 关于 x 的 函数 y f (g(x))叫做函数 y f (u) (外函数)和u g(x)(内函数)的复合函数,其中u 是中间变量,自变量为 x 函数值为 y 。例如:函数 y 2x21 是由 y 2u和u x2 1 复合而成立。说明:⑴复合函数的定义域,就是复合函数 y f (g(x))中 x 的取值范围。⑵ x 称为直接变量,u 称为中间变量,u 的取值范围即为 g(x) 的值域。⑶ f (g(x)) 与 g( f (x)) 表示不同的复合函数。2.求有关复合函数的定义域①已知 f (x) 的定义域为(a,b) ,求 f (g(x)) 的定义域的方法:已知 f (x) 的定义域为 (a,b) ,求 f (g(x)) 的定义域。实际上是已知中间变量的 u 的取值范围,即u (a,b), g(x)(a,b) 。通过解不等式 a g(x) b 求得 x 的范围,即为 f (g(x)) 的定义域。②已知 f (g(x)) 的定义域为(a,b),求 f (x) 的定义域的方法:若已知 f (g(x)) 的定义域为(a,b) ,求即 x (a,b) 。先利用a 3.求有关复合函数的解析式①已知②已知f (x)的定义域。实际上是已知直接变量 x 的取值范围,x b 求得 g(x) 的范围,则 g(x) 的范围即是 f (x) 的定义域。f (x)求复合函数 f [g(x)]的解析式,直接把 f (x)中的 x换成 g(x) 即可。f [g(x)]求 f (x)的常用方法有:配凑法和换元法。f [g(x)]中把关于变量 x的表达式先凑成 g(x) 整体的表达式,再直接把g(x) 换配凑法:就是在成 x而得 f (x)。 t ,从中解出 x(即用t 表示 x ),再把 x(关于t 的式子)直接代入 f [g(x)]换元法:就是先设 g(x)中消去 x得到 f (t),最后把 f (t)中的t 直接换成 x即得 f (x)。4.求复合函数的单调性若u g(x)增函数减函数增函数减函数即“同增异减”法则5.复合函数的奇偶性一偶则偶,同奇则奇【例题讲解】y f (x)则 y f [g(x)]增函数增函数减函数减函数增函数减函数减函数增函数一、复合函数定义域解析式例 1设函数 f (x) 2x 3, g(x) 3x 5 ,求 f (g(x)), g( f (x)) .例 2已知 f (2x 1) x 2 2x ,求 f (2 2 1)例 3①已知f (x) x 2...