复合函数知识点总结、例题分类讲解

复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果 y 是u 的函数，u 又是 x 的函数，即 y  f (u) ，u  g(x) ，那么 y 关于 x 的 函数 y  f (g(x))叫做函数 y  f (u) （外函数）和u  g(x)（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为 x 函数值为 y 。例如：函数 y  2x21 是由 y  2u和u  x2 1 复合而成立。说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数 y  f (g(x))中 x 的取值范围。⑵ x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为 g(x) 的值域。⑶ f (g(x)) 与 g( f (x)) 表示不同的复合函数。2．求有关复合函数的定义域①已知 f (x) 的定义域为(a,b) ，求 f (g(x)) 的定义域的方法：已知 f (x) 的定义域为 (a,b) ，求 f (g(x)) 的定义域。实际上是已知中间变量的 u 的取值范围，即u (a,b)， g(x)(a,b) 。通过解不等式 a  g(x)  b 求得 x 的范围，即为 f (g(x)) 的定义域。②已知 f (g(x)) 的定义域为(a，b)，求 f (x) 的定义域的方法：若已知 f (g(x)) 的定义域为(a，b) ，求即 x  (a，b) 。先利用a 3．求有关复合函数的解析式①已知②已知f (x)的定义域。实际上是已知直接变量 x 的取值范围，x  b 求得 g(x) 的范围，则 g(x) 的范围即是 f (x) 的定义域。f (x)求复合函数 f [g(x)]的解析式，直接把 f (x)中的 x换成 g(x) 即可。f [g(x)]求 f (x)的常用方法有：配凑法和换元法。f [g(x)]中把关于变量 x的表达式先凑成 g(x) 整体的表达式，再直接把g(x) 换配凑法：就是在成 x而得 f (x)。 t ，从中解出 x（即用t 表示 x ），再把 x（关于t 的式子）直接代入 f [g(x)]换元法：就是先设 g(x)中消去 x得到 f (t)，最后把 f (t)中的t 直接换成 x即得 f (x)。4.求复合函数的单调性若u  g(x)增函数减函数增函数减函数即“同增异减”法则5.复合函数的奇偶性一偶则偶，同奇则奇【例题讲解】y  f (x)则 y  f [g(x)]增函数增函数减函数减函数增函数减函数减函数增函数一、复合函数定义域解析式例 1设函数 f (x)  2x  3, g(x)  3x  5 ，求 f (g(x)), g( f (x)) ．例 2已知 f (2x 1)  x 2  2x ，求 f (2 2 1)例 3①已知f (x)  x 2...