天津滨海新区 2017-2018 学年九年级上期末数学试题24．（10 分）（2015•河南）如图 1，在 Rt△ ABC 中，∠ B=90°，BC=2AB=8，点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，连接 DE，将△ EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 α．（1）问题发现①当 α=0°时，（2）拓展探究试判断：当 0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明．=；②当 α=180°时，=．（3）问题解决当△ EDC 旋转至 A，D，E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长．解答： 解：（1）①当 α=0°时，∵ Rt△ ABC 中，∠ B=90°，∴ AC=∵ 点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，∴，，∴．②如图 1，当 α=180°时，可得 AB∥ DE，∵，∴=，．故答案为：．（2）如图 2，，当 0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵ ∠ ECD=∠ ACB，∴ ∠ ECA=∠ DCB，又∵，∴ △ ECA∽ △ DCB，∴．（3）①如图 3，，∵ AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴ AD==，∵ AD=BC，AB=DC，∠ B=90°，∴ 四边形 ABCD 是矩形，∴．②如图 4，连接 BD，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q，过点 B 作 AC 的垂线交 AC 于点 P，，∵ AC=4∴ AD=，CD=4，CD⊥AD，=，在△ ABC 和△ CDA 中，∴ BP=DQ，BP∥ DQ，PQ⊥DQ，∴ 四边形 BDQP 为矩形，∴ BD=PQ=AC﹣AP﹣CQ=综上所述，BD 的长为 4或．=．
