拓扑绝缘体的神奇世界（入门篇）拓扑绝缘体是凝聚态物理近几年的热点。这些材料拥有奇异的物理效应，即表面导电但是内部绝缘。那究竟什么是拓扑绝缘体？为何它拥有这种奇异的特性？撰文 卢海昌我们所说的拓扑绝缘体在概念上与普通的绝缘体是对立的。但拓扑相变可以让普通绝缘体变成拓扑绝缘体，也可以让一个类型的拓扑绝缘体变成另一种类型的拓扑绝缘体。什么是拓扑相变一般来说，物质的相与物质的对称性有着密切的联系。普通的相变意味着对称性的改变。举个简单的例子，水有三种常见的相：冰，液态水，水蒸气。冰具有晶体结构，一般呈现六角晶格。这种六角晶格拥有空间平移对称性，因为晶格是周期性的，此外还有旋转加镜像对称性。冰晶体的空间群为 P63cm，对应的 12 种对称性不变操作参见下图。晶体冰晶体冰的空间群当温度升到摄氏 0 度以上时，冰融化成水，水分子在液态水中的分布变得无序，氢键变少。液态水在温度升高至沸腾，或者在常温下蒸发时，便变成水蒸气，氢键基本不存在，水分子的空间分布更加无序和稀少。水蒸气基本上可以看成是各向同性反，满足在所有对称性操作下不变。从冰到水蒸汽，是一个各向异性到各向同性的过度，相变的过程就是对称性改变的过程。另一个例子是 Landau 的铁磁相变——顺磁体冷却通过居里点由顺磁性变为铁磁性的相变。冷却过程中磁矩的整体方向改变意味着对称性的改变。然而拓扑相并不依赖于材料的局部细节，如杂质等。准确的说，拓扑序并不是根据对称性破缺来定义的，它的定义依赖于拓扑空间的结构。拓扑空间非常抽象，它是相空间与系统 Hamilton 量直积构成的底空间。相空间又被称作布里渊区，是因为晶体周期性而存在的电子动量空间。我们考虑 d 维晶体，由于周期性，它的相空间是 d 维圆环面。Bloch Hamilton 量有 2n 个自由度（n 是电子总数），包含了所有电子的能量、角动量、自旋等信息。在布里渊区的每一点，Bloch Hamilton 量是长在这个点上的 2n 维向量，也就是布里渊面上的纤维丛。最简单的情况是二维圆环面 T2 与自旋简并下的单电子 Hamilton 量的直积，如图所示。在一般情况下，相空间与 Hamilton 量的希尔伯特空间直积构成的空间是科学家们所研究的空间。拓扑绝缘体中的拓扑，便是这个空间的拓扑性质。而拓扑相变就是拓扑空间的拓扑性质发生改变。举个简单的例子，二维情况下平坦的空间就是平面，平面可以连续变换成球面（除了无穷远的点以外，参考球极映射）。但是...
