《高等代数》知识点梳理

Stephen 高等代数知识点梳理 第四章 矩阵 一、矩阵及其运算 1 、矩阵的概念 （1）定义：由ns×个数ija （si,2,1=；nj,2,1=）排成s 行n 列的数表snsnaaaa1111，称为s行n 列矩阵，简记为nsijaA×=)(。 （2）矩阵的相等：设nmijaA×=)(，klijaB×=)(，如果lm =，kn =，且ijijba =，对mi,2,1=；nj,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记BA =。 （3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。 2 、矩阵的运算 （1）矩阵的加法：++++=+snsnssnnsnsnsnsnbababababbbbaaaa1111111111111111。 运算规律： ①ABBA+=+ ②)()(CBACBA++=++ ③AOA=+ ④OAA=−+)( （2）数与矩阵的乘法：=snsnsnsnkakakakaaaaak11111111 运算规律： ①lAkAAlk+=+ )( ②kBkABAk+=+)( ③AkllAk)()(= ④OAA=−+)( （3 ）矩阵的乘 法：=smsmnmnmsnsnccccbbbbaaaa111111111111其中 - 1 - Stephen njiniiiiijbababac+++=2211，si,2,1=；mj,2,1=。 运算规律： ①)()(BCACAB= ②ACABCBA+=+)( ③CABAACB+=+)( ④BkAkBAABk)()()(== 一般情况， ①BAAB ≠ ②ACAB =，0≠A，⇒CB = ③0=AB⇒0=A或0=A （4）矩阵的转置：=snsnaaaaA1111，A 的转置就是指矩阵=nsnsaaaaA1111' 运算规律： ①AA=)''( ②'')'(BABA+=+ ③'')'(ABAB = ④')'(kAkA = （5）方阵的行列式：设方阵1111nnnnaaAaa= ，则 A 的行列式为1111||nnnnaaAaa=。 运算规律： ①|||'|AA = ②||||AkkAn= ③||||||||BABAAB== 这里 A ，B 均为 n 级方阵。 二、矩阵的逆 1 、基本概念 （1）矩阵可逆的定义：n 级方阵 A 称为可逆的，如果有 n 级方阵 B ，使得EBAAB==，这里 E 是单位矩阵。 （2）伴随矩阵：设ijA 是矩阵=nnnnaaaaA1111中元素ija 的代数余子式，矩阵 - 2 - Stephen =nnnnAAAAA1111*称为A 的伴...