一一点的应力状态与应力张量

一 一点的应力状态与应力张量 二 主应力与应力不变量 对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示，如P 点处应力状态在直角坐标系可表示为 ijSxxyxzyxyyzzxzyz 如图1-1 所示。在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知，新旧坐标的应力分量具有一定变换关系。通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张量。式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量。因为它具有xz=zx，xy=yx，yz=zy。 已知物体内某点P 的九个应力分量，则可求过该点的任意倾斜面上的应力。在P 点处取出一无限小四面体oabc (图1-2) 它的三个面分别与x,y,z 三个轴相垂直。另一方面即任意斜面，它的法线N，其方向余弦为l,m,n。分别以dF 、xdF 、ydF 、zdF 代表abc 、obc 、oac、 oab 三角形面积。 xyzdFldFdFmdFdFndF （1.2） 在三个垂直于坐标的平面上有应力分量，在倾斜面abc 上有合应力NP ,它可分解为正应力N及切向剪应力N，即222NNNP NP 沿坐标轴方向分量为Nx ,Ny ，Nz ，由平衡条件可得 NxxyxzNyxyyzNzxzyzxlmnylmnzlmn 求出Nx ，Ny ，Nz 在法线上的投影之和，即得正应力N 222222NNNNxyzxyyzzxx ly mz nlmnlmmnnl 1-5 而剪应力则由式1-5 得 2N=2NP -2N 在空间应力状态下一点的应力张量有三个主方向，三个主应力。在垂直主方向的面上，0N，N即为主应力，等于合应力NP ，而主应力在坐标轴上的分量为 NNNNNNxlymzn 1-7 将式1-7 代入 1-4 整理后得 ()0()0()0xNyxzxxyyNzyxzyzzNlmnlmnlmn  （1-8） 此外，法线 N 的三个方向余弦应满足 2221lmn （1-9） 由上面四个方程可求得N及方向余弦 l,m,n。如果将 l,m,n看作未知量，则由式1-9 可见，l,m.n不能同时为零。因此线性方程组式1-8 非零解的充要条件为系数行列式等于零。 0xNyxzxxyyNzyxzyzzN 展开行列式得到 221230NNNIII 1-11 式中 1222222232xyzIxyyzzxxyyzzxxyzxyyzzxxyzyzxzyzIIII           ...