一元二次方程根与系数的关系精讲精练

一元二次方程根与系数的关系精讲精练 【典型例题】 例1 . 已知方程的一个根是，求它的另一个根及b 的值。 分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。 解：（方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得： 解得： （方法二）由题意： 解得： 根据韦达定理设另一根为x ，则 点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。 例2 . 已知方程的两根为 ，求下列代数式的值： （1 ） ；（2 ）；（3 ） 分析：若方程两根 ，则不解方程，可求出关于 的对称式的值，只须将其配成含有 、的形式。 解：由已知，根据韦达定理 （1 ） （2 ） （3 ） 点拨：体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可。 例3. 已知： 是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。 分析：由两个条件可得出 为方程的两不等实根，再对所求代数式配方变形。 解：由题意， 为的两个不等实根 因而有 又 点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。 例4. 已知关于x 的一元二次方程与有一个相同的根，求k 的值。 解：（解法一）设方程两根α 、β ，方程的两根，则有： 由 当时，代入 当时，由 代入 则 代入 把代入<2>中， 或 （解法二）将与相减得： 此时方程根为0 或，即题中两方程相同根为0 或 （1）若是0 则； （2）若是，则 ； 或 点拨：两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程与有公共根，则公共根必满足方程”的结论。 例 5. 已知方程 （1）若方程两根之差为 5，求 k。 （2）若方程一根是另一根 2 倍，求这两根之积。 分析：对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数字母的值。 解：（1）设方程两根与，由韦达定理知： 又 （2）设方程两根，由根系关系知： 点拨：已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。 例 6. 已知方程两根之比为 1：3，判别式值为 16，求 a、b 的值。 分析：必用判别式，又韦达定理知，，显然可求 a、b。 解：设已知方程的两根为 m，3m 由韦达定理知： 即 把代入 得： 点拨：把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识。 例 7. 已知是关于 x的一元二次方程的两个实数根。 （1）用含 m 的代数式表示； （2）当时，求 m 的值。 分析：应注意，即可用根系关系。 解：（1 ）由题意： （2 ）...