3 3 一元高次方程的漫漫求解路 若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练！任给一个一元二次方程 20 ,0 ,axbxca ① 由韦达定理，①的根可以表示为242bbacxa 。 若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会一些简单的方程。于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方程的根表示出来？ 数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？ n 次方程的一般表达式是 101100 ,0 ,nnnna xa xaxaa 而1011( )nnnnf xa xa xaxa 称为n 次多项式，其中00a 。当系数01,,a a 1,,nnaa都是实数时，称( )f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称( )f x 为 n 次复系数多项式。如果存在复数 ，使得( )0f ，就称 是n 次方程( )0f x 的一 个根，或称为n 次多项式( )f x 的一个根。 1799 年，年仅22 岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。 根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。这一结论也可以用多项式的因 式分 解语 言 来叙 述 ：“复数域上任何n 次多项式都可以分 解成 n 个一次式的乘积 。” 代数基本定理是一个纯 粹 的多项式根的存在定理，它没 有给出求根的具 体 方法 。 要求得n 次方程的根，一般是希 望 得到 n 次方程 1011( )0nnnnf xa xa xaxa ② 3 4 的求解公式，如二次方程①的求根公式那样。众所周知，方程①的解早在古代的巴比伦、埃及、中国、印度、希腊等国的数学著作中，都有不同的表述方式。一个n 次方程②的求根公式是指，②的根通过其系数经由加、减、乘、除以及乘方、开方的表示式，也称这种情况为方程有根式解。 三次以及高于三次的方程是否有根式解？也就是说，是否有求根公式？经过漫长的研究之路，直到 16 世纪，意大利数学家卡当（Candano）及其助手才先后给出了三次和四次方程的根式解。这里我们向读者介绍卡当关于三次...
