一道初中几何题的多种解法

一 道 初 中 几 何 题 的 多 种 解 法 【题目】已知：过ABC的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD分别交于点F 和E . 求证： FBAFEDAE2. 【分析】平行线分线段成比例 【提示】系数2 既是难点，又是突破点 【解法1 】 证：连BE，则由同高三角形面积关系得 BCFACFBEFAEFSSSSFBAF，CDEAECSSEDAE 根据等比性质得： BCEACEBEFBCFAEFACFSSSSSSFBAF D 为BC 的中点， ∴DCEBCESS 2 ∴DEAEFBAF2，即FBAFEDAE2 【解法2 】 证：过D 作CFDM //交AB 于M ， CFDM //， ∴FMAFEDAE  D 为BC 的中点，CFDM // ∴ M 为BF 的中点，即BFMF21， ∴BFAFEDAE21，即FBAFEDAE2 EDABCFMEDABCFEDABCF初中数学一题多解 ~ 1 ~ 【解法3 】 证：过D 作ABDN //交CF 于N ， ABDN //， ∴DNAFEDAE  D 为 BC 的中点，ABDN // ∴ N 为CF 的中点， ∴ DN 为 BCF的中位线，则BFDN21 ∴BFAFEDAE21，即FBAFEDAE2 【解法4 】 证：过B 作CFBG //交AD延长线于G ， CFBG //， ∴EGAEFBAF  D 为 BC 的中点，CFBG // ∴ D 为GF 的中点，即DEEG2 ∴DEAEFBAF2， 即FBAFEDAE2 【解法5 】 证：过B 作ADBH //交CF 延长线于H ， ADBH //， ∴BHAEFBAF  D 为 BC 的中点，ADBH // ∴ E 为CH 的中点， ∴ DE 为 BCH的中位线，则DEBH2 ∴DEAEFBAF2，即FBAFEDAE2 NEDABCFGEDABCFHEDABCF初中数学一题多解 ~ 2 ~ 【解法6 】 证：过A作BCAK //交CF 延长线于K ， BCAK //， ∴BCAKFBAF ，DCAKEDAE  D 为 BC 的中点， ∴DCBC2 ∴EDAEDCAKBCAKFBAF22 即FBAFEDAE2 【解法7 】 证：过A作CFAP//交BC 延长线于P ， CFAP//， ∴CBPCFBAF ， CDPCEDAE  D 为 BC 的中点， ∴DCBC2 ∴EDAECDPCCBPCFBAF22 即FBAFEDAE2 【解法8 】 证：过D 作ACDP //交CF 延长线于P ，交AB 于Q ， ACDP //， ∴DPACEDAE ，QPACFQAF  D 为 BC 的中点，ACDP // ∴Q 为 AB 的中点， 即FQAFBF2， ACDQ21， KEDABCFPEDABCFQPEDABCF初中数学一题多解 ~ 3 ~ QPACFQAF ，由合比性质得FQAFAFPQACAC21212121，即BFAFDPAC21 ∴BFAFEDAE21，即 FBAFEDAE2 【...