一阶线性微分方程组

临沂师范学院精品课程-------常微分方程之课外训练 1 第4 章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如),,,,( ),,,,(),,,,(2121222111nnnnnyyyxfdxdyyyyxfdxdyyyyxfdxdy （3.1） 的方程组，（其中nyyy,,,21是关于x的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21xyxyxyn使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,()(21nixyxyxyxfdxxdynii成立，则)(,),(),(21xyxyxyn称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有 n 任意常数nCCC,,,21的解 ),,,,( ),,,,(),,,,(21321222111nnnnCCCxyCCCxyCCCxy 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 0),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211nnnnnnnCCCyyyxCCCyyyxCCCyyyx 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001nnyxyyxyyxy的解，叫做初值问题的解。 令 n 维向量函数 Y)(x =)( )()(21xyxyxyn，F（x，Y）=),,,,( ),,,,(),,,,(21212211nnnnyyyxfyyyxfyyyxf 临沂师范学院精品课程-------常微分方程之课外训练 2 dxdydxdydxdydxxdYn )(21，xxxxnxxxxdxxfdxxfdxxfxF0000)( )()()(21 则（3.1）可记成向量形式 ),,(YxFdxdY  (3.2) 初始条件可记为 Y(0x )=0Y ,其中noyyyY 20100 则初值问题为: 00)(),(YxYYxFdxdY (3.3) 一阶线性微分方程组:形如)()()()( )()()()()()()()(21211222221212112121111xfxayxayxadxdyxfxayxayxadxdyxfxayxayxadxdynnnnnnnn (3.4)的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组. 令 A( x)=)(a )(a )(a )(nnn11n11xxxxa及 F( )x =)( )()(21xfxfxfn 则(3.4)的向量形式: )()(xFYxAdxdY (3.5) F(0) x 时 YxAdxdY)( (3.6) 称为一阶线性齐次方程组, 临沂师范学院精品课程-------常微分方程之课外训练 3 (3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。 在（3．5）式A (，的每一个...