三.数列和不等式的结合(高手总结来的)

三.数列和不等式的结合 数列和不等式的结合一般来说是整个高中范围难度最大的部分，一般都是压轴题的最后一个小问，不过也有规律可循，很多有模式化的操作。 限于输入问题，这里只说一下思想方法和技巧。 在此需要补充一些很少的内容，便于后面说明。 若|ᵅ(ᵆ)| < ᵄ恒成立，则说明ᵅ(ᵆ)有界。若ᵃ< ᵅ(ᵆ) < ᵃ，则 B 就是函数的下界， A 就是函数的上界。注意：上界、下界有无数个。比如0 < 1 < ᵅ(ᵆ) < 2 < 3，0、1 也是下界，2、3 也是上界。即上下界不一定是精确的边界。 存在极限也叫收敛；不存在极限也叫发散。 一.数列有极限必然是从某项开始是有界的。可以用这个证明数列有界。 二.定理：单调有界数列必有极限。（画画图就可以看出来，很好理解。） 若从某些起，有ᵄᵅ< ᵅ，ᵄᵅ递增，则ᵄᵅ存在极限。 若从某项起，有ᵄᵅ> ᵅ，ᵄᵅ递减，则ᵄᵅ存在极限。 说明： 1.从某项起。前面的有限项不用管，只要从某项起一直单调即可。 2.递增有上界与递减有下界 3 边界ᵅ不一定就是极限。假设极限为ᵆ，则精确边界（确界）为ᵆ。 比如12ᵅ> −1，且12ᵅ递减，但是极限却是 0，精确下界就是 0。 一.无穷级数相关的不等式证明 一个数列各项相加，就是一个级数。比如{ᵄᵅ}的前ᵅ项和为ᵄᵅ，则ᵄᵅ是一个级数。 ᵅ有限时，级数显然是有界的。当ᵅ趋近无穷时，级数的有界情况就不容易知道了。 这种问题一般要就题论题，没有具体做法。但一般有下列3 种思考方向，其优先顺序依次降低。 1.单调性（单调性的问题就不同多说了，太简单例如。若ᵄᵅ> 0，则级数单调递增，ᵄᵅ> ᵄ1。） △2.放缩法（稍微有些难度的问题一般都是这个方法） 3.数学归纳法（不多说了，应用范围很小，数学归纳法能做的放缩法也能做，而且一般稍微难点的题数学归纳法根本没用） *4.反证法（较少用。） 这里重点介绍用得最多的放缩法，放缩法是最常用的也是最重要的。高考不会考交错级数，故△以下只讨论正项级数 （从某项起都有ᵄᵅ> 0）。负项级数可以添负号转化为正项级数进行类似的操作。 设ᵄᵅ的前ᵅ项和为ᵄᵅ，ᵄᵅ的前ᵅ项和为ᵄᵅ，常数ᵅ。 对于具体题型的思考方法： 一般 2 种题型：（已知要分析的数列 ᵄᵅ） 有些时候是判断大小的问题， 这样就需要讨论ᵅ，一般先计算前几项进行比较， 后面的无穷项就需要证明。 题型一：比较两个级数的大小。 数学表达：从某项起，ᵄᵅ< ᵄᵅ或ᵄᵅ> ᵄ...