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三.数列和不等式的结合(高手总结来的)

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三.数列和不等式的结合 数列和不等式的结合一般来说是整个高中范围难度最大的部分,一般都是压轴题的最后一个小问,不过也有规律可循,很多有模式化的操作。 限于输入问题,这里只说一下思想方法和技巧。 在此需要补充一些很少的内容,便于后面说明。 若|ᵅ(ᵆ)| < ᵄ恒成立,则说明ᵅ(ᵆ)有界。若ᵃ< ᵅ(ᵆ) < ᵃ,则 B 就是函数的下界, A 就是函数的上界。注意:上界、下界有无数个。比如0 < 1 < ᵅ(ᵆ) < 2 < 3,0、1 也是下界,2、3 也是上界。即上下界不一定是精确的边界。 存在极限也叫收敛;不存在极限也叫发散。 一.数列有极限必然是从某项开始是有界的。可以用这个证明数列有界。 二.定理:单调有界数列必有极限。(画画图就可以看出来,很好理解。) 若从某些起,有ᵄᵅ< ᵅ,ᵄᵅ递增,则ᵄᵅ存在极限。 若从某项起,有ᵄᵅ> ᵅ,ᵄᵅ递减,则ᵄᵅ存在极限。 说明: 1.从某项起。前面的有限项不用管,只要从某项起一直单调即可。 2.递增有上界与递减有下界 3 边界ᵅ不一定就是极限。假设极限为ᵆ,则精确边界(确界)为ᵆ。 比如12ᵅ> −1,且12ᵅ递减,但是极限却是 0,精确下界就是 0。 一.无穷级数相关的不等式证明 一个数列各项相加,就是一个级数。比如{ᵄᵅ}的前ᵅ项和为ᵄᵅ,则ᵄᵅ是一个级数。 ᵅ有限时,级数显然是有界的。当ᵅ趋近无穷时,级数的有界情况就不容易知道了。 这种问题一般要就题论题,没有具体做法。但一般有下列3 种思考方向,其优先顺序依次降低。 1.单调性(单调性的问题就不同多说了,太简单例如。若ᵄᵅ> 0,则级数单调递增,ᵄᵅ> ᵄ1。) △2.放缩法(稍微有些难度的问题一般都是这个方法) 3.数学归纳法(不多说了,应用范围很小,数学归纳法能做的放缩法也能做,而且一般稍微难点的题数学归纳法根本没用) *4.反证法(较少用。) 这里重点介绍用得最多的放缩法,放缩法是最常用的也是最重要的。高考不会考交错级数,故△以下只讨论正项级数 (从某项起都有ᵄᵅ> 0)。负项级数可以添负号转化为正项级数进行类似的操作。 设ᵄᵅ的前ᵅ项和为ᵄᵅ,ᵄᵅ的前ᵅ项和为ᵄᵅ,常数ᵅ。 对于具体题型的思考方法: 一般 2 种题型:(已知要分析的数列 ᵄᵅ) 有些时候是判断大小的问题, 这样就需要讨论ᵅ,一般先计算前几项进行比较, 后面的无穷项就需要证明。 题型一:比较两个级数的大小。 数学表达:从某项起,ᵄᵅ< ᵄᵅ或ᵄᵅ> ᵄ...

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