三角函数与平面向量的综合应用

1 三角函数与平面向量的综合应用 【要点梳理】 1 ． 三角恒等变换 (1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式．(2)公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系．(3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围． 2 ． 三角函数的性质 (1)研究三角函数的性质，一般要化为 y ＝Asin(ωx＋φ)的形式，其特征：一角、一次、一函数．(2)在讨论 y ＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设 t＝ωx＋φ，y ＝Asin t，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的． 3 ． 解三角形 解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现． 4 ． 平面向量 平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性． 【自我检测】 1． 已知角 α 终边上一点P(－4,3)，则cosπ2＋α sin－π－αcos11π2 －α sin9π2 ＋α的值为________． 2． 已知f(x )＝sin(x ＋θ)＋ 3cos(x ＋θ)的一条对称轴为 y 轴，且θ∈(0，π)，则θ＝________. 3. 如图所示的是函数 f(x )＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|∈0，π2 )图象的一部分，则f(x )的解析式为____________． 4． (2012·四川改编)如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长BA 至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝________. 5. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，AB＝3，P 是 BC 上的一个动点，当PD→ ·PA→取得最小值时，tan∠DPA 的2 值为________． 【题型深度剖析】 题型一 三角恒等变换 例 1 设π3<α<3π4 ，sinα－π4 ＝35，求sin α－cos 2α＋1tan α的值． 思维启迪：可 以 先 将 所 求 式 子 化 简 ， 寻 求 和 已 知 条 件 的 联 系 ． 探究提高 三角变换的关键是寻求已知和所求式子间的联系，要先进行化简，角的转化是三角变换的“灵魂”．要注意角的范围对式子变形的影响． ...