三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质VIP专享

- 1 - 三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1．O 是 ABC的重心 0OCOBOA; 若 O 是 ABC的重心，则ABCAOBAOCBOCS31SSS故0OCOBOA; 1()3PGPAPBPC G 为 ABC的重心. 2．O 是 ABC的垂心 OAOCOCOBOBOA; 若 O 是 ABC(非直角三角形)的垂心，则CtanBtanAtanSSSAOBAOCBOC：：：： 故0OCCtanOBBtanOAAtan 3．O 是 ABC的外心 |OC||OB||OA|(或222OCOBOA) 若 O 是 ABC的外心则C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSSAOBAOCBOC：：：： 故0OCC2sinOBB2sinOAA2sin 4．O 是内心 ABC的充要条件是0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA,BC,AB的单位向量为321e,e,e，则刚才 O 是ABC内心的充要条件可以写成 0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131 ，O 是ABC内 心 的 充 要 条 件 也 可 以 是0OCcOBbOAa 。 若 O 是ABC的 内 心 ， 则cbaSSSAOBAOCBOC：：：： 故 0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa或; ||||||0AB PCBC PACA PBP是 ABC的内心; 向量()(0)|| ||ACABABAC所在直线过 ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)； (一)将平面向量与三角形内心结合考查 例 1 ． O 是 平 面 上 的 一 定 点 ， A,B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三个 点 ， 动 点 P 满 足)(ACACABABOAOP，,0则 P 点的轨迹一定通过 ABC的（ ） （A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心 解析：因为ABAB 是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为21ee和， 又A C B 1e2eP - 2 - APOAOP，则原式可化为)(21eeAP ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC，那么在ABC中，AP 平分BAC，则知选B. (二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理” 例 2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HAHCHCHBHBHA 点 H 是△ABC 的垂心. 由ACHBACHBHAHCHBHCHBHBHA00)(, 同理ABHC ，BCHA .故 H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略）） 例 3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P 是△ABC 的（D ） A．外...