三角恒等变换之辅助角公式

1 辅助角公式22sincossin()abab 在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sincosab为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法, 教师们总结出公式sincosab=22 sin()ab或sincosab=22ab· cos(),让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例 1 求证：3sin +cos =2sin（ + 6）=2cos（ - 3）. 其证法是从右往左展开证明,也可 以从左往右“凑 ”,使等式得到证明,并 得出结论 : 可 见, 3sin +cos 可 以化为一个角的三角函数形式. 一般 地,asin +bcos 是否 可 以化为一个角的三角函数形式呢 ? 2.辅助角公式的推导 例 2 化sincosab为一个角的一个三角函数的形式. 解: asin +bcos =22ab(22aabsin +22babcos ), ① 令22aab=cos ,22bab=sin , 则 asin +bcos =22ab(sin cos +cos sin ) =22absin( + ),(其中tan = ba ) 2 ② 令22aab=sin ,22bab=cos ,则asin +bcos =22ab(sin sin +cos cos )=22abcos( - ),(其中tan = ab ) 其中 的大小可以由sin 、cos 的符号确定 的象限,再由tan 的值求出.或由tan = ba 和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和大量的练习. 但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令22aab=cos ,22bab=sin ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式 sincosab=22 sin()ab来得更自然 能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代 2008 级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔...