1 不定积分小结 一、不定积分基本公式 (1) ∫ xa dx = xa+1a +1 +C(a ≠ −1) (2)∫ 1x dx = ln|x| +C (3) ∫ax dx = axln a +C (4) ∫sin x dx = − cos x +C (5) ∫cos x dx = sin x +C (6) ∫tanx dx = − ln|cos x| +C (7) ∫cot x dx = ln|sin x| +C (8) ∫sec x dx = ln|sec x +tanx| +C (9) ∫csc x dx = ln|csc x − cot x| +C (10) ∫sec2 x dx = tanx +C (11) ∫csc2 x dx = − cot x +C (12) ∫ dx1+x2 = arctanx +C (13) ∫ dxx2+a2 = 1a arctanxa +C (14) ∫ dxx2−a2 = 12a ln |a−xa+x| +C (15) ∫ dxa2−x2 = 12a ln |a+xa−x| +C (16) ∫ᵅᵆ√1−ᵆ2 = arcsinᵆ +ᵃ (17) ∫ᵅᵆ√ᵄ2−ᵆ2 = arcsin ᵆᵄ +ᵃ (18) ∫ᵅᵆ√ᵆ2±ᵄ2 = ln |ᵆ +√ᵆ2 ± ᵄ2| +ᵃ (19) ∫ √a2 − x2 dx = x2 √a2 − x2 +a22 arcsinxa +C (20) ∫ √x2 ± a2 dx = x2 √x2 ± a2 ± a22 ln |ᵆ +√ᵆ2 ± ᵄ2| +ᵃ 二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得） (1)ᵃᵅ = ∫ ᵆᵅᵅᵅᵆᵅᵆ(详情请查阅教材 166 页) 则ᵃᵅ = − cos ᵆᵆᵅᵅᵅ−1ᵆᵅ+ᵅ − 1ᵅᵃᵅ−2(求三角函数积分) 易得ᵃᵅ：n 为奇数时，可递推至D1 = ∫sin x dx = − cos x +C； n 为偶数时，可递推至D2 = ∫sin2x dx = x2 − sin 2x4+C； (2)ᵃᵅ = ∫ᵅᵆ(ᵆ2 +ᵄ2)ᵅ (详情请查阅教材 173 页) 则ᵃᵅ+1=12ᵅᵄ2ᵆ(ᵆ2 +ᵄ2)ᵅ +2ᵅ − 12ᵅᵄ2 ᵃᵅ 易得ᵃᵅ可递推至ᵃ1 = ∫ dxx2+a2 = 1a arctanxa +C 迅捷PDF编辑器2 （这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆） 三、普遍方法 (一)换元积分法： 第一类换元积分法(凑微分法) 这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。 首先我们来看一下最常见的一类有理函数的例子 例 1： ∫x√5 + x − x2dx 注意到分母根号下为二次，其导数为一次，而分子正好就是一次，通过凑微分和 配方可以得到解决。 ∫x√5 + x − x2dx = ∫− 12(−2x + 1) + 12√5 + x − x2dx = − 12∫ d(5 + x − x2)√5 + x − x2+ 12∫1√5 + x − x2dx = −√5 + x −...
