不等式高级水平必备----tobeenough 第 1 页 不等式高级水平必备 目录 Ch1. 伯努利不等式 Ch2. 均值不等式 Ch3. 幂均不等式 Ch4. 柯西不等式 Ch5. 切比雪夫不等式 Ch6. 排序不等式 Ch7. 琴生不等式 Ch8. 波波维奇亚不等式 Ch9. 加权不等式 Ch10. 赫尔德不等式 Ch11. 闵可夫斯基不等式 Ch12. 牛顿不等式 Ch13. 麦克劳林不等式 Ch14. 定义多项式 Ch15. 舒尔不等式 Ch16. 定义序列 Ch17. 缪尔海德不等式 Ch18. 卡拉玛塔不等式 Ch19. 单调函数不等式 Ch20. 3个对称变量 pqr 法 Ch21. 3个对称变量 uvw 法 不 等 式 高 级 水 平 必 备 ----tobeenough 第 2 页 Ch22. ABC 法 Ch23. SOS 法 Ch24. SMV 法 Ch25. 拉 格 朗 日 乘 数 法 Ch26. 三 角 不 等 式 Ch27. 习 题 与 习 题 解 析 Ch1. 伯 努 利 不 等 式 1.1 若 实 数ix （ i1 2n, ,...,） 各 项 符 号 相 同 ， 且ix1 ， 则 ： 12n12n1x1x1x1xxx()()...()... 1( ) 1( ) 式 为 伯 努 利 不 等 式 . 当12nxxxx...时 ，1( ) 式 变 为 ：n1x1nx() 2( ) Ch2. 均 值 不 等 式 2.1 若12na aa,,...,为 正 实 数 ， 记 ： ⑴ 22212nnaaaQn...， 为 平 方平 均 数 ， 简称平 方均 值 ； ⑵ 12nnaaaAn...， 为 算术平 均 数 ， 简称算术均 值 ； ⑶ nn12nGa aa...， 为 几何平 均 数 ， 简称几何均 值 ； ⑷ n12nnH111aaa...， 为 调和平 均 数 ， 简称调和均 值 . 则 ：nnnnQAGH 3( ) iff 12naaa...时 ， 等 号 成立. （ 注： iffifandonly if当 且 仅当 .） 不等式高级水平必备----tobeenough 第 3 页 3( )式称为均值不等式. Ch3.幂均不等式 3.1 设12naa aa(,,...,)为正实数序列，实数r0，则记： 1rrrr12nraaaM an...( ) 4( ) 4( ) 式的rMa( ) 称为幂平均函数. 3.2 若12naa aa(,,...,)为正实数序列，且实数r0，则： rsM aM a( )( ) 5( ) 当 rs时， 5( )式对任何r 都成立，即rMa( ) 关于r 是单调递增函数. 5( )式称为幂平均不等式，简称幂均不等式. 3.3 设12nmm mm(,,...,)为非负实数序列，且12nmmm1......
