1 不等式 不 等 式 是 高 考 必 考 的 热 点 内 容 ， 考 查 的 广 度 和 深 度 是 其 他 章 节 无 法 比 拟 的 ， 任 何 一 份 高 考 试 卷 中 ， 涉 及 到 不 等式 内 容 的 考 点 所 占 比 例 超 过 7 0 %。 一 方 面 ， 考 查 不 等 式 的 性 质 、 解 法 、 证 明 以 及 实 际 应 用 ； 另 一 方 面 ， 与 高 中 阶 段的 数 学 各 个 部 分 都 存 在 着 密 切 的 联 系 。 因 此 ， 对 于 不 等 式 的 学 习 ， 应 达 到 多 层 面 ， 多 角 度 熟 练 掌 握 的 程 度 。 第 一 节 基 本 不 等 式 1 .若 a, b ∈ R, 则 a2 + b2 ≥ 2ab， 等 号 成 立 的 条 件 ： a = b； 证 明 ： 当 a, b ∈ R 时 ， (a − b)2 ≥ 0,展 开 后 即 可 得 到 所 求 不 等 式 及 等 号 成 立 的 条 件 。 2 .基 本 不 等 式 的 变 形 （ 包 括 2 个 方 面 ） ① 若 a, b ≥ 0 的 实 数 ， 则 a + b ≥ 2√ab, 等 号 成 立 的 条 件 ： a = b； 若 a, b ∈ R, ab > 0 则ba + ab ≥ 2, 等 号 成 立 的 条 件 ： a = b； 若 x ∈ R, x > 0 则 x + 1x ≥ 2, 等 号 成 立 的 条 件 ： x = 1； (上 述 3 个 不 等 式 ， 考 虑 如 何 证 明 ？ ) 注 ： 上 述 的 a, b不 能 仅 仅 理 解 为 两 个 参 数 ， 它 可 以 是 表达 式 或函数 的 解 析式 。 ②若 a,b ∈ R, 则 a2 + b2 ≥ (a+b)22≥ 2ab;等 号 成 立 的 条 件 ： a = b （ 注 意： 不 等 式 的 右边是 (a + b)2） 例 题1.已知x, y ∈ (0, +∞), 且4x + 3y = 1， 求 x + y 的 最小值及 xy 的 最小值。 解 ： x + y = (x + y) (4x + 3y) = 7 + (4yx + 3xy ) ≥ 7 + 2√4yx × 3xy = 7 + 4√3， ∴x + y 的 最小值为 ： 7 + 4√3； 求 (xy)min有两 种方 法 ， 其 一 是 配式 ， 1xy = 112 × 4x × 3y ≤ 112 (4x+3y2 )2 = 148， ∴(xy)max = 48； 另 一 种方 法 是 ， 由4x + 3y = 1 →xy = 4y + 3x ...
