专题03特殊平行四边形中的最值、定值问题教师版

专题03 特殊平行四边形中的最值、定值问题 【典型例题】 9．（2020·万杰朝阳学校）如图，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC 上一动点（且点P不与点B、C 重合），PE⊥AB 于E，PF⊥AC 于F．则EF 的最小值为（ ） A．4 B．4.8 C．5.2 D．6 【解析】如图，连接PA． 在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，∴BC2=AB2+AC2，∴∠A=90°． 又 PE⊥AB 于点E，PF⊥AC 于点F．∴∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形PEAF 是矩形．∴AP=EF． ∴当 PA 最小时，EF 也最小，即当 AP⊥CB 时，PA 最小， 12AB۰AC= 12BC۰AP，即 AP=6 810AB ACBC=4.8，∴线段 EF 长的最小值为4.8；故选 B． 2.（2019·余干县第二中学期末）如图，在边长为10 的菱形ABCD 中，对角线 BD＝16，对角线 AC，BD相交于点G，点O 是直线 BD 上的动点，OE⊥AB 于E，OF⊥AD 于F. (1)求对角线 AC 的长及菱形ABCD 的面积． (2)如图①，当点O 在对角线 BD 上运动时，OE＋OF 的值是否发生变化？请说明理由． (3)如图②，当点O 在对角线 BD 的延长线上时，OE＋OF 的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究 OE，OF 之间的数量关系． 【答案】解：(1)在菱形ABCD 中，AG＝CG，AC⊥BD，BG＝12BD＝12 ×16＝8， 由勾股定理得AG＝22221086ABBG，所以AC＝2AG＝2×6＝12. 所以菱形ABCD 的面积＝12AC·BD＝12 ×12×16＝96. (2)不发生变化．理由如下：如图①，连接 AO，则 S△ABD＝S△ABO＋S△AOD， 所以12BD·AG＝12AB·OE＋ 12AD·OF，即 12 ×16×6＝12 ×10·OE＋ 12 ×10·OF. 解得OE＋OF＝9.6，是定值，不变． (3)发生变化．如图②，连接 AO，则 S△ABD＝S△ABO－S△AOD，所以12 BD·AG＝12 AB·OE－ 12 AD·OF. 即 12 ×16×6＝12 ×10·OE－ 12 ×10·OF.解得OE－OF＝9.6，是定值，不变． 所以OE＋OF 的值发生变化，OE，OF 之间的数量关系为 OE－OF＝9.6. 【专题训练】 一、选择题 1．（2020·安徽和县） 如图，在周长为 12 的菱形ABCD 中，AE=1，AF=2，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EP+FP 的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】作F 点关于BD 的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD 于点P． ∴EP+FP=EP+F′P． 由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP 的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′． 四边形ABCD 为菱形，周...