专题一:一次函数中等腰三角形存在性问题方法总结 类型一、等腰三角形 以(,)AAA xy、(,)BBB xy为三角形的边,在x 轴上找一点P 使得△PAB为等腰三角形(二定一动) 一.找法:画圆和作垂直平分线 ①以A 为圆心,线段 AB 为半径画圆,与 x 轴交点即为1P 、2P 点;(AB=AP) ②以B 为圆心,线段 AB 为半径画圆,与 x 轴交点即为3P 、4P 点;(AB=BP) ③作线段 AB 的垂直平分线,与 x 轴交点即为5P 点;(AP=BP) 二、算法:利用两点距离公式进行计算 公式:22()()ABABABxxyy ,设(,)ppP xy,分三种情况: ①AB=AP 时 2222()()()()ABABAPAPxxyyxxyy 可得1P 、2P ,(特殊情况可能是一个点,例如2P 与 B 重合) ②AB=BP 时 2222()()()()ABABBPBPxxyyxxyy 可得3P 、4P ,(特殊情况可能是一个点,例如3P 与 A 重合) ③AP=BP 时 2222()()()()APAPBPBPxxyyxxyy 可得5P 、 例题1、已知,如图直线11:12lyx 分别与x、y 轴交于点A、B.将直线l1平移后过点C(4,0)得到直线l2,点D 在y 轴的正半轴,且直线l2交直线AD 于点E,交y 轴于点F,且EA = EC. (1)求直线l2的解析式; (2)在x 轴上是否存在点M,使得以点A、B、M 为顶点的三角形为等腰三角形,若存在,请直接写出点M 的坐标,若不存在,请说明理由; 【答案】(1) 直线l1平移过点C(4,0)得到直线l2, ∴设直线l2的解析式为y = − 12 x + b. 点C(4,0)在直线l2, ∴ 0 = − 12 × 4 + b, ∴ b = 2, ∴直线l2的解析式为y = − 12 x + 2. (2)令x = 0,则y = −1, ∴ B(0,−1). ∴ AB = √(0 + 2)2 + (−1 − 0)2 = √5. 设点M 的坐标为(a,0), 令y = 0, 则0 = − 12 x − 1, ∴ x = −2, ∴ A(−2,0). ①当AM = BM时,△ ABM是等腰三角形, 则√(−2 − a)2 = √(a − 0)2 + (0 + 1)2, 即4 + 4a + a2 = a2 + 1, 解得a = − 34, 即点M(− 34 , 0). ②当AM = AB时,△ ABM是等腰三角形, 则√(a + 2)2 = √5, 整理得a2 + 4a − 1 = 0, a = −4±√52, 解得a1 = −2 + √5,a2 = −2 − √5, 即点M(−2 + √5,0)或(−2 − √5,0). ③当BM = AB时,△ ABM是等腰三角形, 则√5 = √(a − 0)2 + (0 + 1...