专题一：一次函数中等腰三角形存在性问题方法总结VIP专享

专题一：一次函数中等腰三角形存在性问题方法总结 类型一、等腰三角形 以(,)AAA xy、(,)BBB xy为三角形的边，在x 轴上找一点P 使得△PAB为等腰三角形（二定一动） 一.找法：画圆和作垂直平分线 ①以A 为圆心，线段 AB 为半径画圆，与 x 轴交点即为1P 、2P 点；（AB=AP） ②以B 为圆心，线段 AB 为半径画圆，与 x 轴交点即为3P 、4P 点；（AB=BP） ③作线段 AB 的垂直平分线，与 x 轴交点即为5P 点；（AP=BP） 二、算法：利用两点距离公式进行计算 公式：22()()ABABABxxyy ，设(,)ppP xy，分三种情况： ①AB=AP 时 2222()()()()ABABAPAPxxyyxxyy 可得1P 、2P ，（特殊情况可能是一个点，例如2P 与 B 重合） ②AB=BP 时 2222()()()()ABABBPBPxxyyxxyy 可得3P 、4P ，（特殊情况可能是一个点，例如3P 与 A 重合） ③AP=BP 时 2222()()()()APAPBPBPxxyyxxyy 可得5P 、 例题1、已知，如图直线11:12lyx  分别与x、y 轴交于点A、B.将直线l1平移后过点C(4,0)得到直线l2，点D 在y 轴的正半轴，且直线l2交直线AD 于点E，交y 轴于点F，且EA = EC． (1)求直线l2的解析式； (2)在x 轴上是否存在点M，使得以点A、B、M 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) 直线l1平移过点C(4,0)得到直线l2， ∴设直线l2的解析式为y = − 12 x + b． 点C(4,0)在直线l2， ∴ 0 = − 12 × 4 + b， ∴ b = 2， ∴直线l2的解析式为y = − 12 x + 2． (2)令x = 0，则y = −1， ∴ B(0,−1)． ∴ AB = √(0 + 2)2 + (−1 − 0)2 = √5． 设点M 的坐标为(a,0)， 令y = 0， 则0 = − 12 x − 1， ∴ x = −2， ∴ A(−2,0)． ①当AM = BM时，△ ABM是等腰三角形， 则√(−2 − a)2 = √(a − 0)2 + (0 + 1)2， 即4 + 4a + a2 = a2 + 1， 解得a = − 34， 即点M(− 34 , 0)． ②当AM = AB时，△ ABM是等腰三角形， 则√(a + 2)2 = √5， 整理得a2 + 4a − 1 = 0， a = −4±√52， 解得a1 = −2 + √5，a2 = −2 − √5， 即点M(−2 + √5,0)或(−2 − √5,0)． ③当BM = AB时，△ ABM是等腰三角形， 则√5 = √(a − 0)2 + (0 + 1...