1 专题三：不定方程的整数解问题 所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性地解决问题。在本专题中我们一起来学习不定方程整数解的一些解法技巧。 【基础知识】 1 ．不定方程整数解的常见类型： （1 ）求不定方程的整数解； （2 ）判定不定方程是否有整数解； （3 ）判定不定方程整数解的个数（有限个还是无限个）。 2 ．解不定方程整数解问题常用的解法： （1 ）代数恒等变形：如因式分解法、配方法、分离整数法、换元法（参数法）等； （2 ）奇偶分析法：缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解； （3 ）构造法：如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质； （4 ）枚举法：列举出所有可能的情况； （5 ）不等式分析法：通过不等式估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解； （6 ）无穷递推法。 【典型例题分析】 一、代数恒等变形 1 、因式分解法 【例 1 】已知,x y 都是整数，且满足22 ()xyxy，求22xy的最大值. 分析：由22 ()xyxy，得 (2 )(2 )2xy 因为 (2 ),(2 )xy都是整数，所以2221xy ，或2122xy ，或2221xy ，或2122xy 解得43xy，或34xy，或01xy，或10xy 故22xy的最大值为 2 5 2 注：一般地，整系数, , ,a b c d 的二次方程0axybxcyd， 可变形为：20a xyabxacyad 分解，得 ()()axc aybbcad. 求整数解时，只需把整数()bcad分解成两个整数的积， 转化为解几个方程组#axcayb ，（这#bcad）来解，通过取舍求出符合题意的整数解。 【例2 】求方程223720xyxy的整数解( , )x y . 分析：原方程可化为2244122880xyxy，配方得22(23)(27)320xy 所以(5)(2)8xyxy 因为(5)xy和(2)xy的奇偶性不同 得5821xyxy ，或5128xyxy ，或5821xyxy ，或5128xyxy 解得：( , )...
