专题十二最不利原则

专题十二 最不利原则 在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手： 1.着眼于极端情形； 2.分析推理——确定最值； 3.枚举比较——确定最值； 4.估计并构造。 常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。 例 1 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各 20 个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有 4 个小球颜色相同？ 分析与解答： 如果碰巧，可能你一次取出的4 个小球的颜色都相同。但显然，仅仅摸出4个小球，并不能保证它们的颜色相同，因为它们的颜色也可能不相同。因此，为了“保证至少有 4 个小球颜色相同”，我们就要从最“不利”的情况出发来考虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。 “最不利”的情况是什 么呢 ？它就是我们俗 话 说 的运 气 最差 的情况，实 际 总是与所 希 望 的相反 。那么，在这里，什 么样的情况最“惨 ”呢 ？那就是我们摸出了3 个红球、3 个黄球和3 个蓝球，此时 三种颜色的球都是 3 个，却 无4 个球同色。为什 么说 这就是最不利的了呢 ？因为这时 我们接 着再 摸出一个球的话 ，无论是红色还 是黄色或 者 蓝色，都能保证有 4 个小球颜色相同。所 以，一次最少摸出10 个球，才能保证至少有 4 个小球颜色相同。 由 此我们看 到 了，最不利原则就是从“极端糟 糕 ”、从“运 气 最差 ”的角 度来考虑问题。什 么样的情况我们要用最不利原则来考虑呢 ？那就是题目中出现要“保证… … ”时 ，这“保证”二 字 就要求我们必须 从最不利的情况去 分析问题。 例 2 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共 18 个。其中红球 3 个、黄球 5 个、蓝球 10 个。现在一次从中任 意 取出几个，为保证这几个小球至少有 5 个同色，那么最少要取多 少个？ 分析与解答： 与上 例类似 ，这也要从“最不利”的情况考虑。最不利的情况是什 么呢 ？是取了3 个红球、4 个黄球和4 个蓝球，共11 个。此时 袋中只 剩 下黄球和蓝球，所 以再 取一个球，无论 是黄球还 是蓝球，都可以保证有 5 个球颜色相同。因此，所 求的最小值是 12。 例3 一把钥匙只能开...