《直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半》 专题训练 直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。 一、直角三角形斜边上中线的性质 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理的证明 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 二、性质的证明 1、证明线段相等 例1、如图4，在△ABC 中，∠BAC=90 °，延长 BA 到 D点，使，点E、F 分别为边BC、AC 的中点。 （1）求证：DF=BE； （2）过点A 作AG∥BC，交DF 于G。求证：AG=DG。 2、证明角相等 例2、已知，如图5，在△ABC 中，∠BAC>90°，BD、CE 分别为 AC、AB 上的高，F 为 BC 的中点，求证：∠FED=∠FDE。 例3、已知：如图6，在△ABC 中，AD 是高，CE 是中线。DC=BE，DG⊥CE，G 为垂足。 求证：（1）G 是CE 的中点；（2）∠B=2∠BCE。 3、证明线段的倍分及和差关系 例4、如图7，在△ABC 中，∠C=2∠B，D 是 BC 上的一点，且 AD⊥AB，点 E 是 BD 的中点，连 AE。求证：（1）∠AEC=∠C；（2）求证：BD=2AC。 例5、如图8，在梯形ABCD 中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，E、F 分别是 AB、CD 的中点。求证：。 4、证明线段垂直 例6、如图9，在四边形ABCD 中，AC⊥BC，BD⊥AD，且 AC=BD，M、N 分别是 AB、DC 边上的中点。 求证：MN⊥DC。 5、证明特殊的几何图形 例7、如图10，将Rt△ACB 沿直角边AC 所在直线翻折180°得到 Rt△ACE，点 D 与点 F 分别是斜边AB、AE的中点，连 CD、CF，则四边形 ADCF 为菱形．请给予证明． 强化训练 1、如图，在锐角三角形 ABC 中，AD⊥BC 于 D,E、F、G 分别是 AC、AB、BC 的中点。 求证：四边形 O EFG 是等腰梯形。 FEGDCBA 2、如图所示，BD、CE 是三角形ABC 的两条高，M、N分别是BC、DE 的中点 求证：MN⊥DE NMEDCBA 3、已知梯形ABCD 中，∠B+∠C＝90o，EF 是两底中点的连线，试说明 AB－AD＝2EF FEDCBA 4、如图，四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90o，点M、N 分别是 BD、AC 的中点。MN、AC 的位置关系如何？证明你的猜想。 NMDCBA 5、过矩形ABCD 对对角线 AC 的中点 O 作 EF⊥AC分别交AB、DC 于E、F，点G 为AE 的中点，若∠AOG＝30o 求证：3OG=DC GOFEDCBA6、如图所示；过矩形 ABCD 的顶点A 作一直线，交BC 的延长线于点E，F 是 AE 的中点，连接 FC、FD。 求证：∠FDA=∠FCB FDECBA
