东北师范大学考试答案

研究生课程进修班试卷封面 姓 名： 刘庆风 单 位： 河南省扶沟县韭园高级中学 专 业： 数学教育 考试科目： 现代数学与中学数学 考试分数： 2011年 12 月 26 日 东北师范大学研究生课程进修班考试试卷评分表 课程名称现代数学与中学数学 姓 名 刘庆风 单 位 扶沟县韭园高中 专 业 数学教育 2011年 12 月 26 日 题 号 分 数 签 名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 总 分 评阅教师签字： 年 月 日 现代数学与中学数学 考试卷 一、(10分) 对下列各式，判断其对错，或加以证明，或举出反例 （1）()fghfgfh （2）()ghfgfhf 证明：（1）不正确。 对xR  ()( )( ( )( ))fgh xf g xh x ()( )( ( ))( ( ))fgfh xf g xf h x， 若 f 非线性函数，如2( )f xx， ( )1, ( )2g xxh xx则22( ( )( ))(12 )(31)f g xh xxxx  而222( ( ))( ( ))(1)(2 )(31)f g xf h xxxx 所以（ 1 ）不正确 （2）正确，证明如下：对xR  (())( )()( ( ))( ( ))( ( ))()( )ghfxghf xg f xh f xgfhfx 二、（10分） 若函数( )f x 在点 xa可导，计算 （1）0(2 )( )limtf atf at （2）0(2 )()lim2tf atf att 解：(1)  22lim22'tf atf atfa      '''[2] []2lim221limlim221( )( )21( )2tttf atf af atf atf atf af atf attfafafa原式 三、（10分） 求一函数( )yf x，其曲线过坐标原点且曲线上每一点切线斜率是该点横坐标的2倍。 解：因为曲线上每一点切线的斜率是该店横坐标的2倍， 所以'( )2fxx （１）且 00f， （1） 式两端积分得2( )f xxc，又 00f，0c 2( )f xx 四、（10分）证明：若1230xxx，则32212132sinsinsinsinxxxxxxxx 法Ⅰ证明： 1221221sinsinlimcos,xxxxxxx2332332sinsinlimcosxxxxxxx 又 1230xxx，y=cosx,在区间（0， ）单调递减∴2cosx >3cosx 即122121sinsinlimxxxxxx>233232sinsinlimxxxxxx， ∴32212132sinsinsinsinxxxxxxxx...